LA DIFFÉRENTIATION DES FONCTIONS DE FONCTIONS -SÉRIE

DE BURMAMN, DE LÀGRAIÏGE, DE WRONSKI ^

Par M. A..., Ancien élève de l'École Polytecknique,

Soient les deux équations

, , , «/"z dz d*z

on se propose de calculer ^— sans passer par — » ^vy

^. On a

^^ = A,F'(r)+ A,F"(7) +. . .+ A,FW (j).

Al, Aj,. . ., A„ étant des coefficients qui dépendent uni-

( >83) qucmeiil de (f (x) cl nullemenl de la fonction F (y), comme il est facile de le montrer en prouvant que la loi, supposée vraie pour la dérivée /i'^'"', le sera encore pour la dérivée

On peut donc prendre pour F (y) une fonction quelconque de j-, ef'^' par exemple, et Ai, Aj, . . . , A„ seront les coefficients qui multiplieront pef^^p^ef''^^,.,^p"eP^ dans

d^ ,t'PT

Tcxpression de ' ^ qu'ils'agitconséquemmeutde trouver. Observons, a cet ellet, que r ; est le coel-

' * 1.2.3.../1 dxn

ficient de A" dans le développement de e^'^^^'^^^ suivant les puissances de A. Or

En développant e , e '•*,..., et effectuant le pro-

duit, on aura pour terme général

iri/i

I 2.3* . .mu '

par conséquent, si Ton pose

w, + 2 Wj 4- 3w3 -f- . . . + w/Wn = /? ,

le coefficient de A" sera