PQ = R

différentiée successivement par rapport à ûf^,i, ûf^^j, .... a^^„ donne, en ayant égard aux équations ( aj) ,

^ d9 dK dR dR

^ d0r,i dhf^x ' dhf^i

rfP rfR dR

^r/«;..„ dhr,^ dhr,t

(35) Multipliant ces équations par -y-^? —-î-, . . ., ---^, et faisant la somme des résultats, on a

en se rappelant que l'expression

r/Q dq dq

«£?*.! • «^#.2 dCs,n

d'après ce qui a été démontré au § III , est nulle ou égale à Q, suivant que les indices/, s ont des valeurs différentes ou des valeurs égales. ' -

Si les éléments du déterminant P sont respectivement égaux à ceux du déterminant Q, la formule (33) donne

/3/\ ^^ jIL 1?. </P dP __ dR

d'où, en particulier, si r= s^

Exemple :

(aaP,— a.pa)'-H(72a.— 7,a0'-h(p2 7. — p.vO'

Il est évident que par la différentiation on peut obtenir d*autres relations entre les déterminants P, Q, Rj nous noterons seulement les deux suivantes. Différentions Téquation

^ dV dK dfi dK

par rapport à c^j,,^ , et l'équation

dP dK dK dK

par rapport à <?f|,i; en soustrayant les résultats, il vient

dP dq dP dq ^ ^ I ^-''. ^-'' I d^K

dOr,, dCr^,,^ à^r.s^ dCr^,a

I ^f.*| ^9,» I dhr.f dh^^r^

OÙ Ton doit attribuer ku^v toutes leâ valeurs i , à , . . . , /». En différentiant (36) par rapport à Or^^,^ et se rappelant les équations (5) et (6), on a

dar,,dar^,s^

Si l'on suppose que les éléments du déterminant P sont respectivement identiques à ceux du déterminant Q , on â

et, par suite, en comparant les deux équations (Sy), (38), on retrouve Téquation (i4) établie au § III.

Considérons les deux systèmes d'équations .

dP dP dP ^

dar,t OAr,!

dP dP

dar,i dar,i

dP , dP dP

^".' rfi;: -'■''■•' ^,-

dUr.

dQ dq ^ , ''Q K

£/Q dq dq „

€fQ dq

En miultipliant les équations du premier système respecti-

d(y dO dO 1^1

vement par -r-^» —-^ > • • • » -r-^ 9 et aioutant les résultats,

'^ de,,, dc^,, dCn,x ^

on a