CHAPITRE VI TABLEAUX GÉNÉRAUX DES BALAIS

i^ Emplacements des balais dans l'ordre naturel.

2^ Etude du cas où y est impair .

A. Formule des balais dans Tordi'e naturel.

V , B. Principe des tableaux généraux.

C, Pas des balais dans Tordre naturel.

D. Applications. (Exemples de tableaux généraux.)

3<^ Etude du cas où y est pair.

A. Formule et pas des balais dans Tordre naturel.

B. Applications. (Exemples de tableaux généraux.) '

1^ Emplacements des balais dans l'ordre naturel

Nous g,vons appris (chap. ii) à déterminer les emplacements des balais, dans Tordreoù ils se présenteraient à un mobile se déplaçant à Tintérieur de l'enroulement. La méthode indiquée suppose la connaissance du nombre des sections ou des lames du collecteur et nécessite, dans chaque cas particulier, rétablissement d'un tableau spécial pour les balais.

En considérant les balais, comme nous allons le faire à présent, dans Tordre où ils seraient rencontrés par un mobile faisant le tour du coUecteiir, ordre que nous appellerons Tordre NATUREL, on cst conduit à des tableaux généraux indf^pendants du nombre des lames du collecteur s'appliquant à toutes les machines ayant même nombre de pôles et même nombre de circuits, machines que nous dirons appartenir à la même classe.

Transformons l'expression : \

Ni = rr ' dans laquelle li < 2d de façon à la mettre directement sous la forme : mp + n.

46 THÉORIE DES ENROULEHÉNTS

A cet effet remplaçons N par (jpy^^d) d'où :

w — tïpy zp rf) ± Ij

jpuis, ajoutons et retranchons joy» ^^ numérateur, il vient/ en ordonnant :

Prenons pour y, le nombre entier inférieur à 2d, donnant un nombre entier pour :

Posons ensuite :

amsi que :

il vient : .

m = -^ (ati qr i) ^i =z niip + ni.

L'emplacement du balai i sera donné par la formule :

d'où :

• w ± Si

avec

Il est aisé de voir que a, est le numéro (f ordre de la région neutre qui contient le i™® balai, 7'lsncontré parle mobile se déplaçant à rintérieur de V enroulement dans le sens du numérotage, en partant de la lame et de la région zéro.

En effet, on a : '

d'où

8, -esi anecie au signe -f- ou au sigr

sont de même signe

est affecté du signe + ou du signe — suivant que : d dans y = — ;;: — et 8 dans N,

OU de signe contraire

TAéLEAUX GÉNÉRAUX DES BALAIS 47

Lj est Tangle que. fait avec l'origine. Taxe de la lame L^ ;

a,— -est Tangle que fait avec l'origine, la ligne neutre, dànt le

numéro d'ordre est a^.

zh ^ est donc l'angle que fait Taxe de la lame L^ avec la ligne

neutre en} et comme cet angle est petit, le balai i qui repose

sur' la lame L^ se trouve nécessairement placé dans la

région a,.

Nous aurons par suite les balais dans l* ordre naturel^ si nous les rangeons dans V ordre des valeurs croissantes de a,, et comme a, (d'après son expression ci-dessus) varie dans le même sens que Y„ nouspouvons aussi, pour avoir les balais dans l'ordre naturel, donner à y», dans l'ordre croissant, vtoutes les valeurs qu'il est susceptible de prendre çt calculer les valeurs correspondantes de ai et de L,.

Or, d'après la définition de y,, les valeurs successives de ce terme pour i == 1. 2. 3. . . 2d sont les numéros d'ordre des sommets atteints successivement par un mobile parcourant le polygone '• |-^ T désignant la' valeur que prend y, pourii= 1,. valeur qui est déterminée par la relation :

Cette relation montre :

que : d premier avec y est premier avec y et que : y a même parité que y.

Il en résulte que :

Lorsque y est impair, y à la fois impair et premier avec d est aussi premier avec 2d\ dans ce cas, le polygone 1 i a 2rf sommets et les valeurs successives de y pour i = 1. 2.3... 2d sont ces mêmes valeurs : 1.2.3... 2rf, dans un autre ordre.

Lorsqu'au contraire y est pair, y qui est également pair, a avec 2rfle plus grand commun diviseur 2 et le polygone n'a^ue éf sommets. Dans ce cas, lorsqu'on donne à i les valeurs : i. 2. . . rf y, prend, dans l'ordre déterminé par le parcours du polygone, les valeurs paires 2.4.6... 2d, puis, quand on donne ailes valeurs (rf-+-l) (d-|-2)... [2d), Yj repasse une seconde fois par les mêmes valeurs paires 2.4.6... 2d et dans Je même ordre.

THEORIE DES BNROULEHENTS

A chacune des valeurs dey, correspondent donc deux valeurs de i, différant entre elles de d, ayant par suite des parités différenteé (puisque d premier avec y est impair) et déterminant, en conséquence, deux balais de signes contraires.

Il s'ensuit que, si Ton donne à y,, dans Torclre croissant, Tes d valeurs paires 2. 4.6... 2d, on aura chaque fois Un balai positif et un balai négatif, de sorte que Von obtiendra ainsi ^ séparément^ dans r ordre naturel y d'une part le^s balais positif s^ d^ autre part les balais négatifs.

Nous étudierons, successivement, le cas où y est impair et celui où il est pair.

* 2° Étude du cas ou y est impair

A. — Formule des balais.

y étant impair, y» P®^^ prendre, nous venons de le voir, toutes les valeurs paires ou impaires comprises entre 1 et 2d.

Posons ;

relation :

L; - Y [foy H= i]

Pour avoir les balais, dans Tordre naturel, nous devons donner à 7*, devenu la variable indépendante, les valeurs croissantes 1. 2. 3... 2det calculer les valeurs correspondantes de p^ et de L,.

Pour calculer les valeurs de Py nous devons connaître celles de tjy or nous nous heurtons à une indétermination apparente car tj = Sj- n'est assujetti qu'à la condition d'être inférieur à 2d, alors qu'il existe deux nombres entiers inférieurs à 2rf, qui substitués à e^ donnent pour Py un nombre entier.

^ TABLEAUX GÉNÉRAUX DES BALAIS

L'indétermination disparaît si l'on remarque que : Xf numéro d'ordre de la région qui contient le i^" balai rencontré par le mobile, a même parité que i.

Yi défini par la condition de donner un nombre entier pour : (m^ = ^^^ ^M a aussi même parité que i.

de sorte que :

oLi et Yt ont même parité.

^^ = Cf.. doit donc avoir même parité que : j = yî et l'on doit, en conséquence j prendre celle des deux valeurs de tj inférieures à 2d, qui donne pour ^j un nombre entier de même parité que j. Désignons par jâ et par e les valeurs de ,3^ et e^ pour j == i d'où :

e est le nombre efitier inférieur à 2d qui donne pour ^ un nombre entier impair»

Remarque 1. — Les valeurs de ejqui satisfont à la condition ci-'dessus, de donner pour ^j des nombres entiers de même parité que /, sont les numéros d'ordre des sommets atteints, successivement, en traçant le polygone j -^ I

Traçons, en effet, ce polygone, le sommet auquel aboutit le y°*® côté a pour numéro d'ordre e^ et (ainsi qu'il a été expliqué au chap. ii § 3, B, p. 22) le nombre de tours de circonférence complets, effectués au moment où l'on atteint le sommet tj est :

Or on a identiquement :

2rf

le signe du second terme du deuxième membre étant Tinverse du signe jle e dans le premier ternie.

Si nous portons dans cette expression les valeurs de s, résul- V tant du tracé du polygone, nous aurons :

2qj étant un nombre entier pair et ^ un nombre entier im-

SzARVAOT. — Théorie des enroulements. 4

pair, ^j aura toujours même parité que / et par conséquent les valeurs de tj qui donnent pour Py des nombres de même parité que 7 sont bien celles déterminées par le polygone • 1 -^ 1 •

Remarque 2. — Quand on donne kj les valeurs : 1. 2... (2d) j est alternativement impair et pair, iïen est donc de même de ^j et par conséquent : lorsque y esi impair , comme nous le supposons, les balais^ dans V ordre naturel^ sont ait evnativement positif s et négatifs, les balais pairs ayant le signe du balai initial zéro.

Remarque 3: — Vn mobile y se déplaçant à l'intérieur de l'enroulement^ rencontre les balais dans /'ordre naturel, lorsque

d'où: m,=:i(l^)

dans ce cas : (y — i) est divisible par 2d, En outre : U = Lj donne :

d'où : Si = ej et pour iz=:j = \ on a e = 8. '

Le mobile rencontre les balais dans, /'ordre naturel inversé^

lorsque :

i = (2d — j) d'où {2d — i) =^j = Y.

et m

iy ^ (2d - i) {y±±\ ,

dans ce cas (y + 1) est divisible par 2d.

On a aussi : L, = L; = L^ - 1 qui donne :

— ij— 2^ -^ ^»" = —25 y^^^-i

d'où : S» = ejrf - , = — et et pour i = i on a :

En résumé : lorsque (y — 1) est divisible par 2d, le mobile se déplaçant à rintérieur de Tinduit rencontre les balais dans Tordre naturel; lorsque (y + 1) est divisible par 2rf, il les rencontre dans le même ordre pris en sens inverse; dans tous les autres cas, il les rencontre dans un ordre différent de Tordre naturel.

TABLEAUX GÉNÉRAUX DES BALAIS

B. — Principe des tableaux généraux.

Dans la double relation qui détermine les emplacements des balais, dans l'ordre naturel savoir :

L;=i-[P;yir:;]

jp±^

^j ne dépend que xie j? et de rf Lj ne dépend que de Py et de y.

Les valeurs de p, sont donc les mêmes, pour toutes les machines ayant même nombre de pâles et même nombre de circuits. Elles sont indépendantes du nombre^ des sections et du pas y de ^enroulement.

Pour des valeurs données de p et àe d on peut calcule^, à l'avance, les valeurs de ^j et dresser, en même temps, le tableau . GÉNÉRAL DES EMPLACEMENTS DES BALAiS ; tablcau qui s'appHquera à toutes les machines de la classe considérée, quel que soit le nombre de leurs sections.

Exemple, .

Classe :

1 [lOj/ q= 4] = 0.