DAUS
S désignant une substitution circulaire d'ordre p (161).
Les lettres se distribuent en systèmes, de telle sorte que les substitutions U n’échangent que des lettres d’un même système; H est permutable avec les puissances de S; celles-ci ne peuvent donc échanger que des lettres d’un même système avec des lettres d’un même système; comme ce n’est pas le cas pour les puissances de S, H ne peut contenir que la substitution 1. La dernière adjonction doit être d’un radical d'indice p et auparavant le groupe était composé d’une substitution circulaire et de ses puissances.
Comme le groupe se trouve réduit à l’unité par la dernière adjonction, toutes les racines deviennent rationnelles, de sorte que l’équation auparavant irréductible se décompose actuellement en équations du premier degré.
210. Les adjonctions successives auraient pu réduire le groupe sans rendre f(æ)—o réductible; dans le cas où des adjonctions réduisent le groupe G à H qui ne contient que des substitutions linéaires, on peut montrer que G ne contient non plus que des substitutions linéaires, et le théorème précédent en résultera, car, le dernier groupe ne contenant que des substitutions linéaires, cela aura lieu pour les autres.
Il reste donc à prouver que G ne peut contenir que des substitutions linéaires, si le groupe H, obtenu par l’adjonction des racines d’une équation binome, ne contient luimême que des substitutions linéaires. H doit contenir la substitution circulaire S d'ordre p et ses puissances; soit T une substitution de G qui n'entre pas dans H, H est permutable avec T, et T doit par suite transformer S en une de ses puissances, car dans le groupe linéaire H il n’entre pas d'autre substitution semblable à S que les puissances de S. T est donc lui-même une substitution linéaire, car seules les substitutions linéaires transforment S en une puissance de S.
Il est donc prouvé que la condition donnée par Galois pour la résolubilité d’une équation irréductible de degré premier, sous forme algébrique, est nécessaire et suffisante.
Équations dont le groupe a pour ordre une puissance d’un nombre premier.
211. Soit p” l’ordre du groupe d’une équation irréductible f(æ) —0, p désignant un nombre premier. Comme l'ordre du groupe est divisible par le degré de l’équation, ce degré doit être une puissance de p, p" par exemple.
Si l’on adjoint une racine x, de l’équation, l'équation devient réductible ; chacune des équations irréductibles dans lesquelles elle se décompose a un groupe qui ne contient que des substitutions dont l’ordre est une puissance de p (194), de sorte que ces groupes ont pour ordre une puissance de petil en est de même des degrés des équations correspondantes.
Puisque l’équation se trouve réduite par l’adjonction de x, à d’autres dont les degrés sont des puissances de p et que parmi ces équations il en est une du premier degré, il faut qu'il y en ait au moins p du premier degré; au moins p racines seront rationnellement exprimables en fonction de æ1. Plus haut (206) on a fait voir que le groupe de semblables équations était imprimitif et qu’elles pouvaient être réduites au moyen d’une équation auxiliaire. Le groupe de l'équation réduite se compose de substitutions dont les cycles se trouvent dans les substitutions de G, et leur ordre comme le degré de l'équation sont des puissances de p.
En divisant le degré de l'équation proposée par celui de l'équation réduite, on a le degré de l’équation auxiliaire (195), qui par suite est aussi une puissance de p. L'ordre du groupe de l’équation auxiliaire est aussi une puissance de p, car ce groupe se réduit à l’unité en adjoignant toutes les racines de l'équation donnée. Adjoignons ces racines une à une; à chaque réduction on doit parvenir à une équation irréductible dont l’ordre du groupe et le degré doivent être une puissance de p. On voit ainsi que l’ordre du groupe de l'équation auxiliaire
doit être une puissance de p (199). On arrive au même résultat en montrant que ce groupe est isomorphe avec G.
Les deux nouvelles équations peuvent être réduites de la même facon jusqu’à ce que l’on tombe sur des équations abéliennes de degré p. Comme le produit des degrés de ces équations est égal au degré de la proposée, les racines de celle-ci peuvent être exprimées au moyen de 77 équations abéliennes d'ordre p.
212. D'un autre côté, l’ordre du groupe d’une équation, qui peut être résolue à l’aide d'équations abéliennes de degré p, peut être abaissé au moyen de divisions successives par le nombre p, jusqu’à ce qu'il se réduise à l’unité; l’ordre de ce groupe est donc une puissance de p. Donc
La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation puisse être résolue au moyen d'équations abéliennes de degré p est que l’ordre de son groupe soit une puissance de p. Son degré est alors nécessairement une puissance de p également.
Ce théorème est une généralisation de celui qui fait connaître les conditions pour qu’une équation soit résoluble au moyen de racines carrées, et que nous avons démontré plus haut.
La démonstration qui précède montre qu’il n’y a pas d’autres groupes transitifs d'ordre p"(n > 1) que des groupes imprimitifs. Cela résulte nettement de ce qu’il existe une équation qui possède un groupe donné. En effet, chaque groupe correspond à une équation; à savoir l'équation générale de même degré que le groupe quand on à adjoint une fonction des racines invariable par les substitutions du groupe et variable par tout autre substitution.
213. Supposons qu'un groupe ( contienne un groupe H d’ordre p*, p désignant un nombre premier. Toutes les substitutions de G permutables avec H forment un groupe K d'ordre pp*.
Supposons
H— (1, Si, Sos.) ;
les substitutions de K peuvent être rangées en séries, de la
forme Ty, Ty S1; +. :
dans le cas où H est celui des sous-groupes contenus dans G pour lequel & est le plus grand possible, il ne peut se trouver, parmi les substitutions T,S8, une substitution dont l’ordre soit une puissance de p; s’il s’en trouvait en effet une, on pourrait à l’aide de cette substitution construire un groupe contenu dans Q, et d'ordre pf ou 6 > & (161); comme l’ordre de chaque substitution S est une puissance de p, elle ne peut être semblable à une substitution TS.
Les substitutions de G peuvent être rangées en séries comme il suit (chaque série a pp*% termes) :
RS RS TT TS: US US AT OUT ee
CR
U n’est pas permutable avec H, mais il pourrait l’être avec un groupe contenu dans H, à savoir 1, Sy, Sg, ...; les substitutions S peuvent être écrites en séries comme il suit
LANCE Pr DES TELE MI M MMS M, M: Sc M SB; Sets
le nombre des substitutions M étant une puissance de p. Si l’on multiplie à gauche les termes de la série
UPS CUS LADY
par l’une des substitutions S,, Ss, ..., on retrouve la même série à l’ordre des termes près. Au contraire, si l’on multiplie les termes de la même série par une des substitutions M, on obtient une nouvelle série, composée de termes différant à la fois entre eux et de ceux de la série primitive. On déduit ainsi de la série primitive autant de séries qu’il y a de substitutions M; le nombre de ces séries est une puissance de p.
Si G contient un plus grand nombre de substitutions, avec l’une d'elles formons de la même manière une série de substitutions dont le nombre soit une puissance de p, et continuons ainsi jusqu’à ce que nous ayons épuisé toutes les substitutions de G. Comme toutes les substitutions ainsi obtenues sont différentes, l’ordre de G est
L DPF CLS DRM SET ANNEE;
où ph, p#, ... sont les ordres des groupes contenus dans I et qui sont permutables avec les substitutions U. Plusieurs des nombres @4, ©, ... peuvent être égaux; ils peuvent même être nuls, mais ils sont au plus égaux à &« — 1. La quantité entre parenthèses a en tout cas la forme 1 + np.
214. Nous allons étudier de plus près le groupe K et montrer que p ne peut être divisible par p. Puisque H est permutable avec toutes les substitutions de K, on peut, si l’on considère une équation dont le groupe est K, réduire K à H, au moyen d’une équation auxiliaire du degré p dont toutes les racines peuvent être exprimées rationnellement à l’aide de l’une d’entre elles, et dont le groupe est d'ordre p (203). Ce groupe doit contenir une substitution d'ordre p, si pr est divisible par p.
Cette substitution, par rapport aux quantités désignées
(203) par 0,, 0, ..., peut être remplacée par une des substitutions T (203); la puissance p de cette substitution doit laisser 0,, @,, ... inaltérées. Comme cela n’a lieu que pour
les substitutions S, T? est l’une d'elles, ce qui exigerait que l'ordre de T fût une puissance de p, ce qui est contraire à notre hypothèse. 1 n’est donc pas divisible par p.
On voit ainsi qu’un groupe d'ordre Æp*, où k n’est pas divisible par p, doit contenir un sous-groupe imprimitif d'ordre p* ou un groupe linéaire d'ordre p si x — 1. Le groupe d'ordre p* est contenu dans un autre d'ordre pp* avec les substitutions duquel il est permutable, et l’on a
k = p(np +1).
215. Si k<p, on à kw; soit alors u — pl, où p, désigne un nouveau nombre premier qui ne divise pas p. Si Mi Pr l'équation auxiliaire de degré x pourra être réduite à une équation résoluble par radicaux, au moyen d’une équation de degré p,; si l’on peut ainsi continuer jusqu’à ce que l’on obtienne une équation auxiliaire dont le degré et l’ordre soient des puissances d’un nombre premier, l'équation
proposée est résoluble algébriquement (SyLow, Math. Annalen, V).
Équation de Hesse.
216. Hesse a étudié une équation du neuvième degré, dans laquelle deux racines quelconques a, b sont liées à une troisième par les relations
c—@(a 0} bso(æ. ce), D oibSor
o désignant une fonction symétrique et rationnelle.
On rencontre cette équation quand on cherche les 9 points d’inflexion d’une courbe du troisième degré. Au sujet de ces points on a le théorème suivant : toute droite passant par deux points d’inflexion passe par un troisième point d’inflexion. La condition pour que trois de ces points soient en ligne droite prend la forme c—o(a,b), où a, b, c sont trois racines de l’équation du neuvième degré qui détermine les points d’inflexion. L’équation c — o(a; b) n’est satisfaite que si les trois points a, b, c sont en ligne droite.
217. Le groupe de l’équation ne peut contenir que des substitutions qui remplacent les trois points a, b, c par trois autres en ligne droite (193).
On peut prendre deux points sur neuf de 72 manières; de cette manière chaque droite est obtenue 6 fois, et il existe 12 lignes droites distinctes passant par trois inflexions. On arrive au même résultat en observant que par chaque point passent 4 des lignes en question; leur nombre est donc F0 MO EI 2
De 3 points en ligne droite partent donc 9 lignes droites, abstraction faite de celle-ci; les 6 autres points se trouvent donc sur les deux droites restantes.
Maintenant représentons chaque point d’inflexion par deux indices ; le premier de ces indices sera o, 1 ou 2 suivant que le point sera sur la première, la deuxième ou la troisième de ces lignes; sur les 9 lignes restantes choisissons-en 3 de la même facon et donnons au point le second indice o, 1 ou 2 suivant qu’il sera sur la première, la deuxième ou la troisième. De cette manière les points seront représentés par les éléments du tableau
(oo) (o1) (o2), (O0) ROLE ErA) (20) (21) (22);
les points représentés par les éléments d’une même ligne ou d’une même colonne sont alors en ligne droite.
On ne peut ranger ces points de manière à voir les 6 autres lignes parce que 3 points d’inflexion au plus sont réels. Les deux lignes droites que l’on ne voit pas et qui passent par le point (00) sont nécessairement
(oo) (tr) (22), (oo) (12) (21);
les autres lignes sont déterminées d’une façon analogue, et l’on voit que si 3 points sont en ligne droite la somme de leurs premiers et de leurs seconds indices est divisible par 3.
218. Désignons ces indices par + et y, et considérons les substitutions qui remplacent æ et y par ax+by+c et dx + bd, y + c;, les nombres étant pris suivant le module 3; alors, après la substitution, 3 points en ligne droite seront remplacés par 3 autres points encore en ligne droite, car si
HE Lo TT L3 = ÿ1 Yo als = O, on a encore
ax + by + C++ Aa Le + byat+ c++ ax3+bys+e=o.
La notation (x,Y7; ax+by+c, ax+biy +c)
représentera une substitution des 9 points, si l’on exclut les valeurs de a, b, a;, b, pour lesquelles ab, — ba, =0o. Ces substitutions forment un groupe, car le produit de deux d’entre elles donne une substitution de même espèce. c etc, peuvent être pris égaux à o, 1 ou 2; si c et c, ont été choisis, a et à ne doivent pas être à la fois nuls; si & et b ont été choisis, &, et b, peuvent être choisis de 6 manières différentes; l’ordre du groupe est donc 9.8.6.
Le groupe en question remplace 3 points en ligne droite par 3 autres points en ligne droite; nous allons voir qu’il contient toutes les substitutions qui jouissent de cette propriété.
Soit T une semblable substitution qui remplace (00) par (æB), (or) par («B.), elle devra remplacer (02) par (2, B2), de telle sorte que
a+a+a=8 +f$i+f =o; la substitution S—=(x,y; ax+by+a, ax+biy +$f;) du groupe produit cet effet quand b+a= ui, bi+8B==6:;,
si T remplace (10) par (436.), la substitution S produira cet effet si a+a—= 3, a+8b= 83.
On voit facilement que la substitution T est maintenant bien déterminée, et cela par cette seule condition que 3 points en ligne droite sont remplacés par 3 autres en ligne droite; et comme la substitution S déterminée jouit de cette propriété, S et T sont égales.
* G contient ainsi les substitutions qui n’altèrent pas la valeur nulle de o(a, b) — c. Alors G est le groupe de l’équation
ou le contient.
G contient le groupe G,; formé des substitutions
(tr: ax + CC, ayi+ ci),
où a est égal à r ou 2, et où c et c, peuvent recevoir leurs trois valeurs. Ce groupe du dix-huitième ordre est permutable à toutes les substitutions de G. Si l’on cherche 3 droites contenant les 9 inflexions, on voit que G, ne contient que les substitutions de G qui échangent ces lignes; comme il existe 12 lignes triples et qu’une ligne triple détermine les deux autres, il existe 4 lignes triples qui doivent se déterminer au moyen d’une équation du quatrième degré dont les racines réduisent le groupe G à G:.
On peut encore réduire le groupe G à G; en résolvant une équation abélienne du degré 9.8.6:18 — 24. Cette équation n’est autre chose que la résolvante de l’équation du quatrième degré et se trouve résolue dès que celle-ci l’est. Au lieu de réduire le groupe G à G,; pour la fonction des racines, on aurait pu le réduire par l’adjonction successive des radicaux qui servent à résoudre l’équation du quatrième degré.
On divise ainsi l'ordre de G par 24.
G, contient le groupe G, du troisième ordre
