Les différents groupes réduits sont semblables

Soient H, et H, deux de ces groupes correspondant à s; et %,; soient y, et y, des racines respectives de

Les racines de la première équation peuvent être mises

sous la forme Via MC Tr); 02(Y1);

0,, @,,... désignant des fonctions rationnelles. On montrera, comme plus haut, que les racines de la se-

conde sont | Ya, O1(Y2); 0a(Yo)

Soit maintenant T la substitution qui remplace y; par y»,

S;, S, les substitutions qui remplacent y, par 04 (y1) et y: par k(Y2); on à

TSx = SAT; car ces deux substitutions remplacent y, par 04(y2); cette formule établit la similitude de Sz;et S,; mais S, est une substitution quelconque du groupe H,, S; une substitution du groupe H,; la substitution T transforme donc H, en H.. Comme y, et y, sont des racines quelconques de (3), une substitution quelconque de G transformera un groupe H en lui-même ou en un autre groupe H.

201. St les racines de l’équation irréductible auxiliaire peuvent étre exprimées rationnellement en fonction de l’une d'elles, et si l’adjonction d’une de ces racines réduit G à H, H sera permutable avec toutes les substitutions de G.

Si toutes les racines de l’équation auxiliaire peuvent être exprimées rationnellement en fonction de l’une d’elles, en les exprimant effectivement ainsi, adjoindre une racine de l'équation auxiliaire, c'est les adjoindre toutes; les groupes H,, H;, ... que l’on a trouvés tout à l'heure doivent coïncider; mais, puisque tous ces groupes peuvent être transformés les uns dans les autres avec les substitutions de G, H transformé par ces substitutions reste identique à lui-même : H est donc permutable avec les substitutions de G.

202. Si l’adjonction de toutes les racines d’une équation trréductible auxiliaire réduit le groupe G à H, H est permutable avec toutes les substitutions de G.

L’adjonction des racines en question revient à l’adjonction d’une fonction o rationnelle de ces racines, dont toutes les valeurs sont distinctes; ces valeurs peuvent être exprimées rationnellement en fonction de l’une d’elles, et les racines de l'équation auxiliaire peuvent être exprimées rationnellement en fonction de +, de sorte que les racines de l’équation en ® peuvent être considérées comme adjointes; notre théorème résulte donc du précédent (201).

203. Dans le cas où le groupe G d'ordre m=— kq contient un groupe H d'ordre q, permutable avec toutes les substitutions de G, G pourra se réduire à H en adjoignant les racines d’une équation abélienne de degré k.

Soient LOTO 0 4 Or

les substitutions de H; les substitutions de G peuvent être distribuées en Æ séries : elles sont de la forme T,Sg, où & a la même valeur dans une même série.

Solent fi, Ve, Fame MTACINE OC En AQULISCRUR duisent de y, pour les substitutions S, et soit

(ar (era) eee)

a désignant une indéterminée; 0, reste inaltéré par les substitutions S, mais les autres substitutions changent sa valeur; si donc on adjoint 0,, le groupe de l’équation deviendra H.

Montrons maintenant que ©, peut être déterminé au moyen d’une équation abélienne. Soient 6,, @, ..., 0, les valeurs que l’on obtient en effectuant sur 2, les substitutions 1, T;, 6-0, Le, el DOSO0nS

où 6 désigne une indéterminée.

Puisque H est permutable avec les substitutions de G, aucune des fonctions 0 (181) ne sera altérée par les substitutions S. À ne peut donc être altéré par aucune substitution TsS,; car S, ne modifie aucune dés valeurs 0, et T ne fait qu'échanger les valeurs des 0; on a, par exemple,

T8 03 = T8 T0: = TyS50: E 0,1;

car Te T, fait partie du groupe G et doit avoir, à cause de cela, la forme T,S3.

Puisque aucune substitution de G ne modifie A, À pourra s'exprimer rationnellement. 4,, @,, ... seront déterminés par une équation du degré k, et l’on voit facilement que cette équation est irréductible et abélienne, car les diverses va-

leurs de © peuvent s'exprimer rationnellement les unes en fonction des autres, puisqu'elles restent invariables par les mêmes substitutions de G; leur groupe est d'ordre Æ et se compose des substitutions qui permutent @,, 8,, ... de la même manière que les substitutions T,

Si Æ est un nombre premier, les racines de l’équation abélienne peuvent s'exprimer rationnellement au moyen d’une équation binome; on peut donc aussi réduire G à H en adjoignant un radical et les racines de l'unité.

204. A présent, nous pouvons faire connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour qu’une équation puisse être résolue algébriquement. Si une équation peut être résolue algébriquement, son groupe doit pouvoir se réduire à la seule substitution 1, en adjoignant successivement les radicaux qui se trouvent dans les racines et des racines de l’unité, de manière à connaître toutes les racines de l'équation en y. Le groupe devra donc se réduire à 1 en adjoignant successivement des racines d'équations de la forme

où p désigne un nombre premier et À une quantité connue ou déjà adjointe. Cette équation est abélienne si l’on regarde les racines de l’unité comme des quantités connues.

D'ailleurs, aux n° 199 et 203, on a montré que la condition nécessaire et suffisante pour que le groupe G de l’équation, d'ordre pq, puisse être réduit par une telle adjonction, consiste en ce que ce groupe G contienne un groupe H d'ordre g, permutable avec toutes les substitutions de G. Alors H doit contenir un nouveau groupe permutable avec toutes les substitutions de H, et ainsi de suite jusqu’à ce que l’on parvienne au groupe 1. Ainsi

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une équation puisse étre résolue algébriquement est que son groupe contienne un groupe el celui-ci un nouveau groupe, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on parvienne au groupe 1; et cette suite

de groupes doit étre telle que chacun d’eux soit permutable avec les substitutions du précédent, l’ordre de chacun d’eux s’obtenant en divisant l’ordre du précédent par un nombre

premier.

205. Prenons, par exemple, l'équation générale du quatrième degré; son groupe est le groupe général du quatrième degré et du vingt-quatrième ordre; ce groupe contient le groupe alterné avec lequel ses substitutions sont permutables; en adjoignant une fonction altérée des racines, le groupe sera réduit au groupe alterné; c’est cette fonction que l’on trouve quand, cherchant à résoudre l’équation, on est conduit à extraire une première racine carrée.

Le groupe alterné contient un groupe du quatrième ordre où les substitutions sont permutables avec un groupe alterné; ce groupe est |

1, (titi)(tsd), (a1ds)(tadi), (ais) (das).

Au moyen d’une extraction de racine cubique, on détermine une fonction qui reste inaltérée par ces substitutions, par exemple æ,%2 + æ3æ,;Silon adjoint cette fonction, le groupe alterné se trouve réduit au groupe du quatrième ordre considéré, qui, au moyen’ de deux extractions de racines carrées, se trouve réduit au groupe 1.

Le groupe général de degré n, qui est le groupe de l’équation générale de degré 2, peut aussi, au moyen d’une extraction de racine carrée, être réduit au groupe alterné. Nous allons voir tout à l'heure que, pour n=>4, ce groupe est simple, et alors ce groupe ne peut plus être réduit par l’adjonction d’un radical; il en résulte que les équations générales de degré supérieur à 4 ne peuvent pas être résolues algébriquement.

Voici maintenant la démonstration de la proposition que nous avons admise : Supposons que le groupe G d'ordre +! puisse se réduire à un autre K d'ordre Æ où Æp—=1{nl!, p désignant un nombre premier. K ne saurait contenir toutes les substitutions circulaires du troisième ordre. On peut donc for-

mer un groupe d'ordre 3 Æ (161) contenu dans G, ainsi p — 3; si 2>/4, on peut montrer que p—5, K ne contenant pas toutes les substitutions circulaires du cinquième ordre; mais p ne peut être à la fois 3 et 5; la réduction est donc impossible pour x > 4.

En réalité, cette démonstration ne diffère pas de celle que nous avons donnée plus haut pour établir que l'équation du cinquième degré n’était pas résoluble algébriquement.

Équations abéliennes.

206. Nous avons déjà étudié les équations abéliennes. Aussi montrerons-nous brièvement comment on peut leur appliquer la théorie de Galois.

Considérons une équation abélienne irréductible de degré 7, on aura

(1) 5 10 (On) ou Te — 0 (ti) = 0;

le groupe de l'équation doit contenir une substitution qui remplace æ; par æ2:; Soit

(æi, La, L3, .. Tr)

un de ses cycles; si l’on fait subir à (1) cette substitution, on à

(2) Ori) = Xo, 0(To) = æ3, ‘.) 0(r;) = ri.

On voit alors facilement qu’une substitution du groupe qui remplace une des lettres æ1, æ+, ..., æ, par une lettre qui ne fait pas partie de cet ensemble, doit les remplacer toutes par de nouvelles lettres, sans quoi l'équation aurait des racines égales; transformons une substitution entre les lettres x,, Los... &, par une substitution quiles échange avec d’autres, nous obtenons une substitution qui montre que r racines différentes des précédentes sont liées par des équations analogues aux fonctions (2); s'il y a plus de 7 racines, un autre

système de r racines sera encore lié par des équations analogues, etc., et les substitutions du groupe ne pourront échanger que des racines d’un même système avec des racines d’un même système. Le groupe est donc imprimitif et l'équation

peut se décomposer en équations de degré r, au moyen d’une équation auxiliaire.

207. On n’a donc à considérer que des équations dont le groupe contient une substitution circulaire de toutes les racines et où æ,— 0(x,). Toutes les racines peuvent alors s’exprimer rationnellement en fonction de l’une d’elles, et une fonction des racines n’a que » valeurs. L’équation F(y) —o, qui détermine le groupe, est donc au plus du degré n : elle est donc exactement de degré n, car le groupe est transitif et, par suite, son ordre est divisible par ». Ce groupe se compose d'une substitution circulaire et de ses puissances.

Soit « une racine primitive de #*—1, on voit facilement que

A=(ati+ a xo+... + Zn)!

est rationnel, car cette fonction n’est pas altérée par les substitutions du groupe. Si l’on adjoint & et VA, le groupe sera réduit à l’unité; les autres substitutions changent, en effet, XLi+ a Ta+...+Z,3 les racines seront donc exprimables rationnellement en fonction de VA et des racines de l’unité.

Si le degré d’une équation abélienne est un nombre premier 7, son groupe doit contenir une substitution circulaire d'ordre 2; l’équation sera alors résoluble algébriquement. Si x n’est pas premier, et si le groupe contient encore une substitution circulaire d’ordre x, on voit que l’on peut abaisser son groupe en adjoignant des radicaux à indices premiers; par exemple, si 2 — 715 et si S est la substitution circulaire,

PUS Su SS SS1:

sera un groupe permutable avec les substitutions du groupe primitif, et sera le groupe réduit en adjoignant les racines d’une équation de la forme 24 IA.

Équations de Galoïis.

208. Galois à étudié les équations irréductibles de degré premier p et dont les racines sont exprimables rationnellement en fonction de deux d’entre elles, et il a fait voir qu’elles sont résolubles algébriquement.

Toute fonction rationnelle des racines d’une pareille équation pouvant s'exprimer rationnellement en fonction de deux racines, l’ordre de son groupe est au plus p(p — 1), et comme ce groupe est transitif, son ordre est divisible par p.

Nous avons vu plus haut (186) que les substitutions d’un groupe de cette espece, Jes racines étant 7, 2,7 202, sont de la forme

de — a

TaSb,

L'ordre du groupe est Æp, k est égal à p — 1 ou à un diviseur de p — 1, et a est une racine primitive de aæ*=1 (mod p). Maintenant, posons

ou de la forme

où

Xi= (ro ati + da +... +aP-1xp 1)?,

XP — T7

où « est racine de — 0, désignons par X>, X:, -::, Xzs

LU les résultats obtenus en effectuant sur X, les substitutions FT, T2, SEE Rétiposons encore

À — (X1 + 6 X2 + B2X3 +. SR Gk—1X,)4,

8 désignant une racine quelconque de æ*— 1 —o. A doit être rationnel, car il n’est pas altéré par les substitutions du groupe, car la substitution S n’altère pas X:, X,, ..., X, et la substitution T effectue des permutations circulaires entre les X.

Si l’on remplace alors B par ses différentes valeurs, on obtient À équations qui se ramènent au premier degré et d’où

l’on peut tirer X;,, X:,... en fonction de VA et des racines de l'unité.

Les quantités X,;, X,,... étant connues, on en déduit æs, Ti, ... COMme on l’a vu à propos des équations abéliennes.

En réalité l'équation donnée se réduit à une équation abélienne par l’adjonction d’une de ces quantités, car alors le groupe se réduit aux puissances de $S. Donc:

Une équation irréductible dont le degré est un nombre premier, et dont les racines sont des fonctions rationnelles de deux d’entre elles peut se résoudre algébriquement.

Dans le cas où le groupe d’une équation irréductible de degré p ne contient que des substitutions linéaires, chaque racine peut s'exprimer en fonction rationnelle de deux d’entre elles; car si l’on adjoint deux racines, le groupe se trouve réduit à l’unité, puisque, mise à part la substitution :, les substitutions linéaires déplacent au moins p — 1 racines et ne peuvent en laisser deux invariables.

209. St une équation trréductible dont le degré est un nombre premier p est résoluble algébriquement, son groupe ne contient que des substitutions linéaires.

Si l’on adjoint tous les radicaux, pour réduire le groupe de l'équation, il se trouvera un radical d'indice p, car c’est le seul qui pourra faire disparaître le facteur p de l’ordre du groupe. Dès que l’on aura adjoint ce radical, et pas avant, l’équation sera réductible, et comme le nouveau groupe est intransitif, son ordre ne peut être divisible par p, et réciproquement l'équation ne peut être irréductible si l’on n’a pas évincé le facteur p de l’ordre du groupe.

L'équation donnée devient donc réductible après l’adjonction du radical d'indice p, et son groupe est devenu intransitif ou réduit à l’unité. Soit

He (TU AUS UE

ce groupe. Avant l’adjonction du radical, le groupe contenait toutes les substitutions de la forme