Soit Ce, k) AU

une équation contenant un paramètre indéterminé #; pour plus de simplicité, nous supposerons les coefficients numériques. Si l’on suppose « connu, l'équation possède un groupe déterminé G. :

Une fonction rationnelle © de Æ et des racines qui reste inaltérée par les substitutions de G peut être exprimée rationnellement au moyen de kÆ et des nombres connus; elle doit donc être monodrome par rapport à k, c’est-à-dire qu’elle doit avoir une valeur déterminée pour une valeur donnée de k, et reprendre cette même valeur quand k, après avoir varié d’une manière quelconque, repasse par sa valeur primitive. La fonction reprend après la variation de kÆ sa valeur numérique primitive, mais sa forme algébrique peut avoir changé, la variation de Æ pouvant avoir amené une permutation entre les racines.

Si l’on fait varier Æen lui faisant prendre toutes les valeurs réelles ou imaginaires, on produira des substitutions entre les racines; ces substitutions forment un groupe, car si Æ en suivant un chemin fermé produit une substitution S et en suivant un autre chemin fermé il produit la substitution T, en suivant successivement ces deux chemins il produira la substitution TS. Ce groupe porte le nom de groupe de monodromie par rapport à £. Nous le désignerons par H.

991. Les substitutions du groupe de monodromie n'’altèrent pas une fonction monodrome de k. En effet, si Æ suit un chemin déterminé, il en résulte une substitution déterminée correspondante, et, comme la fonction est monodrome, cette substitution ne le change pas, puisque la fonction reprend la même valeur quand Æ revient au même point, quel que soit le chemin suivi.

Réciproquement, une fonction est monodrome quand elle n’est pas altérée par les substitutions de H. Car ces substitutions correspondent à tous les chemins que peut suivre À.

999, Le groupe KH est contenu dans G. Toutes les substitutions de H laissent, en effet, une valeur rationnelle d’une fonction rationnelle des racines et de Æ inaltérée, car cette fonction est monodrome.

Mais il fautremarquer que H ne contiendra nécessairement pas toutes les substitutions de G; en effet, de ce qu’une fonction est monodrome, il n’en résulte pas qu’elle puisse s'exprimer rationnellement par des quantités connues ; elle peut, par exemple, contenir des radicaux et G ne se réduit à H qu'après l’adjonction de ces radicaux.

293. Le groupe H est permutable aux substitutions de G. Soit Y une fonction des racines invariable par les substitutions de H, mais variable par les autres substitutions. Elle sera monodrome en * et par suite exprimable rationnellement au moyen de Æ et de coefficients irrationnels; appelons

a, b,c, ... ces coefficients; la fonction d satisfait à une équation irréductible ; on obtiendra des relations entre a, b,

c, ... en écrivant que Ÿ satisfait, quel que soit 4, à cette équation. On peut donc former une équation telle que a, b, €, ... s'expriment rationnellement au moyen d’une de ses

racines (74), et, si l’on adjoint ses racines, G se réduira à un groupe qui ne pourra contenir d’autres substitutions que celles de H. Ce groupe sera donc H, car l’adjonction d'irrationnelles numériques ne saurait réduire ce groupe. H est donc permutable avec les substitutions de G (202).

224. Considérons, par exemple, l'équation qui fait connaître cos > au moyen de —cosz. Appelons mi, æ, x,

. s 2DT el: . .

ses racines, Où 4, — COS ——; adjoignons coss et sins; si

3 varie d'une manière continue, coss et sins reprennent les

mêmes valeurs quand z croît de 2p tr, p désignant l’un des nombres 0,1, 2, ...,n —1; la racine x, se changeant alors en Zr+p, le groupe de monodromie de l'équation par rapport à sins et coss est le groupe linéaire de degré

P+p r ] et, comme ce groupe est permutable avec les substitutions du groupe algébrique, celui-ci à la forme

ADN, r ?

- r . . LT 27F il se réduit au groupe de monodromie en adjoignant cos

ef n

LOT ; Ë sin —, car on voit facilement que dans ce cas U(Tp+1; Tp) = 0,

où Ÿ est rationnel et cette équation ne subsiste que pour les substitutions du groupe de monodromie.