SUR LES FORMES

Formes et substitutions linéaires.

1. Nous désignerons par a% la forme binaire générale d'ordre 7

IL TONTEEN (1) af = ax? + - ax? ro + Cr 10) LA HP Ds NE ne CLÉ L ME OÙ Go; Ai, -.., An Seront ce que nous appellerons les coeffi-

cients; si l’on fait a —0,1et si l’on regarde x; : x,-comme inconnue, on obtient l'équation générale du degré ».

2. La forme est transformée par une substitution linéaire, quand on pose

; æx [oi : — e { (2) Li = 11 E1 + A2 É0; Lo — L2161 + X292G2)

et l’on suppose le déterminant

(3) De

différent de zéro; si l’on a plusieurs formes analogues «7, bi, ..., 11 sera sous-entendu qu’elles sont transformées par la même substitution.

Quand on effectue la substitution, la forme se change en une autre de même ordre, mais avec de nouveaux coefficients aÿ, &,, .... qui dépendent des anciens et des coefficients de la substitution (2); on peut effectuer deux substitutions successivement : cela revient à effectuer une seule

substitution, mais cette troisième substitution n’est pas la même quand on change l’ordre dans lequel on effectue les deux premières; toutefois, le déterminant de la troisième est, en tout cas, le produit des déterminants des deux premières.

3. La substitution la plus générale résulte des quatre suivantes (voir k1) :

k PORN ART Lo = ko,

2° Li — ét Lo — LE,

sis Li = 1 + ME, LE CU

4° tL1= Ëts Lo = 221 + Ëo

dont les déterminants sont Æ?, {, 1 et r. La substitution obtenue en les effectuant successivement aura pour déterminant 21; c'est la plus générale, parce qu’elle contient les quatre paramètres Æ, /, «,, &, et l’on voit facilement qu’on peut les déterminer sans ambiguïté quand on se donne les coefficients de (2). Excepté pourtant lorsque x,,—=0 ou &—0; alors, en effet, ils sont infinis; comme, dans ce cas, æ,, et æ, ne peuvent être nuls, nous admettrons encore une cinquième substitution simple qui échange seulement les variables; elle à pour déterminant — 1 et change a/en a,

Symboles.

k. Nous regarderons les lettres a, b, ..., À, B, ...,dans ce qui va suivre, comme des symboles dont les puissances seront remplacées par des indices; ainsi nous aurons

(a)r='er, CONEUT (A)}3= A3, AS

mais 2 sera toujours égal à ou inférieur à l’ordre de la forme, car a, n’a plus de sens dans le cas contraire. Nous pouvons alors écrire

(4) at = {ti Eau)",

si, après avoir appliqué la formule du binome, nous écrivons,

COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. 313 au lieu du premier terme, Diarra ie as re

Nous considérerons ensuite une différentiation symbolique pour laquelle nous ferons usage de la caractéristique À, ; elle consistera à appliquer les règles ordinaires de la différentiation aux puissances symboliques. Ainsi, on posera

da =Aia)l= pla) DA "1:

On voit donc que l’on n’a qu’à différentier en regardant les indices comme des exposants. Nous donnerons encore quelques exemples :

Aa = mar \Aiap= pra À ap-1, Asa 10, Ai(&;a>— aî) = 0, Adai = aa + 64443.

Coefficients et fonctions transformés.

». Lorsque l’on transforme la forme (1), on obtient une forme de même ordre avec de nouveaux coefficients @«, a, --., et il en est de même pour toute autre forme. Soit uw une fonction entière et rationnelle des variables et des coefficients d’une ou de plusieurs fonctions, homogène en x, et æo. Si, dans w, nous remplacons les coefficients par ceux des formes transformées et æ,, x, par £;, £ respectivement, nous obtenons une nouvelle expression w'., Maintenant, dans u', remplacons les nouveaux coefficients et les variables ë, et & par leurs valeurs en fonction des anciens coefficients et des anciennes variables; si alors w’ ne diffère de & que par un facteur dépendant seulement des coefficients de la substitution, on dira que « est un coeartant de la forme, ou un covariant simultané des formes s’il intervient plusieurs formes dans l’expression de w. Les considérations qui vont suivre ont pour objet la recherche des covariants et leur mode de dépendance. Pour obtenir des covariants, nous chercherons les conditions pour que « reste invariable quand on

effectue les cinq substitutions particulières dont il a été question plus haut.