La première substitution donne RU RP PE pd Éd Le

On voit que tout covariant de a doit être homogène par rapport aux coefficients de cette forme; si son degré par rapport aux variables (que l’on appelle son ordre) est p, si son degré par rapport aux coefficients (que l’on appelle son degré) est g, la substitution considérée multiplie le covariant par 4"£-?. Si l’on considère un covariant de plusieurs formes des degrés A; Ty, os ..., Ot Si les degrés d’un de ses termes par rapport aux coefficients de ces formes sont respectivement £g, g1;, Las ..., 2ng sera le degré de tous ses termes et le covariant sera multiplié par 42*8-? après la transformation.

7. La seconde transformation donne ay = lag, by == la by, É — T1, Éo == Los [

Si l’on désigne par » le degré de A dans un terme Are en y regardant les indices comme des exposants (c’est ce que l’on appelle le poids de A), ce terme sera multiplié par À; y — 5 doit alors avoir la même valeur pour tous les termes d’un covariant. Si l’on ordonne le covariant comme les formes, le poids de chaque coefficient devra être supérieur d’une unité au poids du coefficient précédent.

8. La cinquième substitution change &,,en a,, «en x,et vice versa; ce changement ne doit pas altérer un covariant, ou doit simplement le multiplier par — 1. Soit

(5) Aoct + PAsap trot... + Apart le covariant, la substitution change A, en + A,. Si y est le

poids de À,, À, sera de poids v + p.

Mais A, A, doit être de poids Zng, car, si dans AA, il entre

un facteur a, ou b,, il doit aussi y entrer un facteur @a,,, On,—gs --.. On a donc

(6) p = 2ng — 29,

ce qui montre que l’ordre d’un covariant est déterminé quand on connaît le poids et le degré de son premier coefficient.

Si l’on effectue successivement la première et la deuxième substitution, le covariant est multiplié par 42*8-r = (K?1)". Or Æ?l est le déterminant de la substitution résultant des deux premières, la troisième et la quatrième substitution ont pour déterminant 1 et ne changent pas le covariant, comme nous le verrons plus loin; il en résulte que :

Une substitution quelconque de déterminant D multiplie un covariant par D", v désignant le poids du premier coejjictent du covariant.

9. Nous avons vu que tous les coefficients d’un même covariant z ont le même poids ou, comme nous le disons, sont homogènes en indice et sont de même degré, c’est-à-dire homogènes dans le sens propre du mot. On aura donc, en vertu de cette dernière propriété,

du ou ou

DER = mt Root) 0@ da; An

— Us:

L'homogénéité en indice fournit une équation analogue. Si nous faisons, en effet,

Co LŸ; = nous aurons

me a de. nie Datd = Or qz le ie q 1 0x3 DL

ou

10. La troisième substitution est Li — El + di Éo) To — Éo; elle change a =(x,+ am)" en [éi+ (a+ m)éo]?.

Les coefficients de la forme transformée dépendent donc de ceux de la forme primitive au moyen d’une équation symbolique qui exprime que le symbole reçoit l’accroissement «. On a alors