PA èE) PME

d’où l’on conclut

A>Ap = 0, A9 Ap-1 = Ah; .

A5Ag=(U—q)Agr1, DRoIDR AA —= A1.

Ces formules montrent que l'opération À, s'applique d’après les mêmes règles aux coefjicients d’un covariant et aux coef- Jfictents d’une forme de même ordre que le covartant.

De ces théorèmes, il résulte qu’un covariant est entieèrement délerminé quand on connaîl un quelconque de ses coefficients, car au moyen des deux opérations on peut déterminer tous les autres. En particulier nous remarquerons que A, satisfait à l’équation A, A,—o et A, à l’équation A,A,—0o. Les fonctions qui satisfont à ces deux équations

seront ce que nous appellerons des semi-tnvartants; ils seront de première espèce ou de seconde espèce, suivant qu'ils satisferont à la première ou à la seconde (").

Un covariant d'ordre nul satisfait aux deux conditions et on l’appelle un énrariant; pour un semblable covariant, on a Èng— 2». Les deux espèces de semi-invariants se déduisent les uns des autres en changeant a; en a, y, b, en 0n,-9» + Il en résulte qu'un invariant, par un semblable changement, doit rester inaltéré ou changer seulement de signe selon que son poids est pair ou impair; car le changement se produit par la cinquième transformation.

Les covariants deviennent des invariants lorsque l’on regarde les variables comme coefficients de formes linéaires dont le premier terme est négatif.

Semi-invariants.

14. On voit facilement que (@i —- a@o )* est un semi-invariant de première espèce, car Ai(ai— ao) = pa — aa) 1(ao — &o) = 0; ; Es % += SATA se il se trouve représenté par a; —(x,+ ax,})", si l’on remplace +, par a, et x, par — à,. Il est nul identiquement pour

bu =—=1; pour les autres valeurs de px, on à, en divisant par @, qui est lui-même un semi-invariant,

(20405 ="4;, C3 = ApA3 — A}, C3 = A$ 43 — 34) A2 +24;

n est la plus grande valeur que puisse prendre pr.

A l’aide de ces n—1 semi-invariants, on peut exprimer en fonction entière tous les semi-invariants de a%, après les avoir multipliés par une puissance convenable de «.

(*) Parfois, quand nous parlerons de semi-invariants, sans en désigner l’espèce, il faudra sous-entendre qu'il s’agit de semi-invariants de première espèce.

Dans Cu, le premier terme est Gr el ay, n'entre que dans ce terme. On peut alors éliminer d’un semi-invariant donné U, au moyen des équations (20), les quantités @,, an 1; Ans -.., @ @t l’on n’introduit ainsi que des dénominateurs puissances de &,; on obtient ainsi

U=A+Ba+Cai+...,

A, B, C, ... désignant des fonctions entières des c divisées par des puissances de c,. À, B, C,... sont ainsi eux-mêmes des semi-invariants et l’on a

AU=Ba+2Caoa +....

et cette quantité n’est identiquement nulle que quand B—C...—o, car les c et a peuvent être considérés comme indépendants.

On voit, de même, qu'une fonction U, telle que A?U — 0, peut être ramenée à la forme À + B a,;, etc.

D'une manière toute semblable on verrait que des semiinvariants simultanés, abstraction faite de multiplicateurs puissances de &, bo, ..., peuvent être exprimés en fonction entière et rationnelle des c et de leurs analogues ainsi que de semi-invariants de la forme &,b, — b,a,;. Enfin, on aurait des théorèmes analogues pour des semi-invariants de se- Condeespeceernchangeanta/ eng; , etc.

15. Il est facile de trouver l’expression d’un semi-invariant donné de a” en fonction des c. Si l’on pose, en effet, a; — 0, cu se réduit à aÿ "au; il suffit alors de multiplier le semiinvariant par une puissance de a, telle que son degré devienne égal à son poids (tous les c, excepté c©,, jouissent de cette propriété), et alors de poser a; = 0; on à ainsi l’expression demandée.

Par exemple, soit

d, = aa, — 44;a3 + 3 a, Aid, = 0, en multipliant par af et en posant a =0o,0ona

aÿ a, + 3(ao@ ),