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Expression des coefficients en fonction des racines. 17. La forme la plus générale de l’équation du degré n,

quand on divise le premier membre par le coefficient de s”, est

(i) fCz) = 20+ az 1 + az... + Qn 13 + An = 0, et si l’on désigne par 1, ©, ..., ©, Ses racines, on à (2) JC) =(z—u)(3—0)...(3— a).

Si l’on effectue le produit indiqué dans le second membre de cette équation, et si on l’identifie avec le développement de f(&), on obtient les formules

CRAN EE D no Of) A2 Maz +... + An-1 An = A, (3) { Ayo A3 FA Lo +. + An 9o An—1An = — A3,

Fonctions symétriques des racines.

18. Une fonction de plusieurs variables est dite symétrique quand elle reste invariable lorsque l’on permute deux de ces variables d’une facon quelconque. Nous ne considérerons dans la suite que des fonctions symétriques rationnelles. Quand une expression de forme non symétrique ne change pas de valeur, quand on y permute les lettres qu’elle renferme, pour des valeurs déterminées de ces lettres, on peut lui donner une forme symétrique. Ainsi, par exemple,

pour a=1et b—2, ne change pas de valeur quand on permute a et b; on peut l'écrire sous la forme symétrique

Ed

D'une manière générale, si o ne change pas de valeur, en permutant certaines quantités données, et si, par les permutations de ces quantités, elle prend les formes o,, o:, ..., o,, on peut poser

Ar ITR THE On),

et o prend la forme symétrique.

Une fonction quelconque symétrique des racines d’une

équation peut s'exprimer rationnellement en fonction des coefficients.

Dans le cas où la fonction est fractionnaire, on peut la mettre sous une forme telle que le numérateur et le dénominateur soient symétriques. Si, en effet, on considérait la fraction réduite à sa plus simple expression

o(X1, T9. ni

(ai, Ty di

et si les deux termes n'étaient pas des fonctions symétriques, il y aurait deux valeurs +, et æ,:, qui, en s’échangeant, laisseraient inaltérée la valeur de la fraction, tandis que les valeurs du numérateur et du dénominateurse trouveraient changées. Mais cela est impossible, car il en résulterait deux fractions égales, capables de devenir infinies pour des valeurs de x, %3, ... qui ne seraient pas les mêmes.

On peut donc, si l’on veut, ne considérer que des fonctions symétriques entières. Considérons un terme d’une telle fonction, et permutons les racines qui y entrent detoutesles manières possibles : les résultats devront entrer dans la fonction symétrique et leur somme sera symétrique; les autres termes peuvent être traités de la même façon.

Considérons, par exemple, une équation du troisième degré ayant pour racines æ1, Æ2, Æ3. Si, dans une fonction symétrique des racines, il entre le terme x,x°x,, il doit aussi y éntrEmIeSttermesr, LT, Tir L, etlOonaura.à considérer la fonction

Li 23 T3 + La Li La + WiX8 Lo, qui peut s’écrire Li LaT3( Li + La + La),

et l’on à alors affaire aux fonctions æ, 4,3 et ti + La + X3; en réalité, on aurait dû obtenir six termes, car le nombre des permutations de trois lettres est 6; mais le terme considéré est lui-même symétrique par rapport à deux racines : il n’y a pour cette raison que trois permutations donnant des résultats différents.

Ainsi, une fonction symétrique, qui ne peut pas être décomposée en fonctions plus simples, est déterminée par un seul de ses termes; on la représente par ce terme, précédé du signe À; par exemple, pour une équation de degré n,

ZT Lo —= Lilo L1L3 + T1 LES CR En pe Tn—1ln;

5 — 2 2 2 ZX? = Li PLIS CEE TS.

Formules de Newton.