On obtient encore un groupe de semi-invariants en

posant

Car on a Ady=p(a—b)t1(1—1)= 0.

Si l’on pose b — «a, on obtient des semi-invariants relatifs

COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. 323 à la forme «7, qui, pour u impair, s’évanouissent identiquement; ainsi | dy = aya> — a?, en d, = ta, — {az + 342, | ds = Aoas — 64 ax + 15424, — 10 4,

de atete,.s,9 ee SA eo Te HIT delta re 'erela ls ec ssl re

Ces quantités peuvent servir, au lieu de ©, c,, ...,à exprimer un semi-invariant; et, par ce nouveau procédé, on introduira en dénominateur une puissance moins élevée de &.

17. Il est facile de trouver la signification des semi-invariants c; en effet, si en appliquant la troisième substitution

Ld « « on pose «, égal à — “re le second terme de la forme transfor-

£ »7 : : : LUE &i \P : « mée s’évanouit et a, se réduit à (a— m) qui, abstraction

faite du facteur aï7!, se réduit à c,; donc:

Si l’on transforme la forme de telle sorte que son second terme s'évanouisse, on trouve

Cn y A

" 7 Ca 7 C3 Cr n—2%9 ; n—323 2

2 ai

Si l’on égale cette forme à zéro, on obtient une équation dont les fonctions symétriques des racines pourront s’expri-

C: C C . z mer au moyen de a AU ...) Fa ses racines dépendent des 0 0 0

différences des racines de l'équation non transformée; on a, en effet,

di » » T1 ét a Li = E1— — Éo; Lo — 50 et ee Mo € To C0 (441) où n«) La — — = DS .

do Lo Ainsi ARE £o n

à désignant la différence entre ne et une autre racine.

En ce qui concerne les semi-invariants de seconde espèce, il n’y a qu’à remplacer les racines par leurs inverses. D’ailleurs, il est facile de voir que la troisième substitution ne change pas la différence de deux racines et que la quatrième ne change pas la différence de leurs inverses.

. A ea 18. Si l’on remplace &, par on A, et À, désignant les

deux premiers coefficients d’un covariant, on trouve