PE («— DE
c'est un semi-invariant qui, multiplié par A?, est ramené à la forme entière. On obtient ainsi 2 — 1 nouveaux semi-invariants par lesquels, à l’aide de A,, un semi-invariant quelconque, multiplié par une puissance convenable de A,;, peut s'exprimer sous forme entière etrationnelle. A,, comme nous le verrons, est un semi-invariant arbitraire qui n’est pas un invariant; si l’on exprime de même A,, on obtient une relation entre les semi-invariants dont on a fait usage.
En effet, comme celui qui correspond à €, ne s’évanouit pas, on à, dans ce cas, 2 semi-invariants, tandis qu'il n’existe que z — 1 semi-invariants c.
19. Il existe entre les opérations A, et À, une dépendance que l’on met en évidence comme il suit : on a
ou ou oay Aou E(n—h)ay+ day”
Au = 2uaysi l’on forme À, A,u et A, A, u, on voit immédiatement que les termes qui renferment des dérivées du second ordre sont les mêmes; les autres sont |
ou 0 E(u+1)(72 — W)au et Ep(r—u+Ii)ay :
day, On a donc, quel que soit le semi-invariant w,
(22) AjAau—AoAju = (ng—320)u.
Si w contient les coefficients de plusieurs formes, on doit remplacer n2g par Zng.
Covariants.
20. Nous avons vu que les coefficients d’un covariant devaient satisfaire aux deux séries de relations
AÂg= qAg1, AAÂg=(u—q)Agr:
En outre, on a
ZnS—2Nt= y,
£. désignant l’ordre du covariant, £g le degré et v le poids de A.
Nous pouvons montrer que la dernière condition peut rem-
placer une des séries de conditions trouvées plus haut, pourvu que nous ayons encore égard aux relations
A A5=0 ou A2Ay = 0.
On a, en effet,
A5 Aÿ — Lu A: ou NYAS ARE mA1A:;
mais À A2 Ào = AoA1A0+ (2729 — 2v)Ào = pAo;
donc AA: — A0.
De plus, on a A>A1=(um—1:1)A2, AiA2A1=(um—1)A: 10,
mais A4 A2 A4 = AoAiA1+ (Eng —92v—2)A;:
— A Ao+ (pe — 2)A1 = 2(u —1)Au,
donc A1 A9 = 2A:,
et ainsi de suite.
Tout semi-invariant détermine donc un et un seul covariant.
Le semi-invariant à, détermine la forme donnée (la forme fondamentale).
Il en résulte que les covariants dépendent les uns des autres de la même manière que les semi-invariants qui les déterminent. Si l’on a, par exemple,
À) = Bo Co + D,,
et si l’on remplace B,, G et D, par les covariants qu'ils déterminent, on obtient un covariant dont le premier terme a pour coefficient A,, ce covariant n’est autre que celui qui est déterminé par À,, car il n’y en a qu’un qui soit ainsi déterminé.
Les théorèmes démontrés plus haut, sur les semi-invariants, en donnent d’autres analogues pour les covariants; ainsi l’on a, par exemple, le théorème suivant :
Un covariant appartenant à la forme a%, multiplié par une puissance convenable de la forme fondamentale, peut s'exprimer en fonclion entière et rationnelle au moyen. des covariants déterminés par les c.
On démontre des théorèmes analogues au sujet des semi-
invariants de seconde espèce.
21. Nous avons montré plus haut que les semi-invariants sont simplement multipliés par une puissance de x, quand on y remplace a, par af; il existe un théorème analogue pour les covariants. En effet, un covariant n’est pas altéré par la troisième substitution; on a donc identiquement
K = A, (21 — 23 Xo + Ë A (Xi — Gito)t1 +...+ Aix,
ou, en remplaçant &« pari: TZ, K—A,x},
où A, représente la valeur transformée de A,. Le changement dont nous avons parlé remplace a, par af : x4, en sorte
COVARIANTS DES FORMES BINAIRES. 327 que À, acquiert le dénominateur æ*+4 où » désigne le poids de À; ainsi :
Un covariant multiplié par xY est représenté par son der-
nier coefficient dans lequel on remplace a,, by, ... par ak, DESRUR
On arrive au même résultaten donnant dans A, au symbole u u TX E
l'accroissement — = et en développant par la formule sym- «40
bolique de Taylor.
Exemple. — A l’aide de c, et pour n—4, on forme un covariant d'ordre on à
A0 Goa3— a}, 2A1= ad; — ajax, 61À2= ao, +24 43 — 3aë, 2 À2 — di Ai — A3, À, = Ga &, — ai,
et le covariant peut s’écrire [ar ai— (aë)T: ri;
pour 7 — 2, ©, est un invariant qui peut s’écrire [avai — (az) 1:26;
pour x — 5, ©, donne le covariant
(Go@2 — af) Xi + (Ay 43 — 142) Xi Lo + (A1 43 — aÿ )aè
= [aka (az) ]:r8.
Formation de nouveaux semi-invariants.
22. Etant donné un semi-invariant, on peut en déduire de nouveaux, en remplaçant les coefficients &@s, &y, @2, ... par une série de fonctions À,, A;, A,, ... pour lesquelles
En vertu de ces équations la nouvelle expression s'évanouira quand on la différentiera symboliquement, tout comme l’ancienne. Alors on peut remplacer a, par a; + kb,, k désignant une constante arbitraire et à, le coefficient d’une forme
adjointe. Un semi-invariant H se transformera en
H+ (ie bo+ cu bi... )k +
&o da;
et comme # est arbitraire, les coefficients de toutes les puissances de Æ devront être des semi-invariants. Ainsi, un semiinvariant H en donne un autre
je CARE OUI er Das = Ode ONE D la différentiation symbolique donne 0 0 0H 0H OH (ai) * AGE 22 OH ENS OR RENE
0& A da 042
La dernière équation montre que d’un semit-invariant on
peut en déduire un autre en différentiant par rapport au dernier coefficient a».
Les équations (24) montrent encore que chaque dérivée partielle détermine la suivante; H est donc bien déterminée
0H 0H quand on connaît — et en vertu de (7) quand on connaît —
0&) d&; (et l’on en dirait autant des semi-invariants simultanés). On voit encore que si a, entre dans H, ay, au, ..., &
doivent y entrer également. Dans un invariant, à cause de la symétrie, il doit entrer tous les coefficients.
Si, dans un covariant, on regarde — x, et x, comme les coefficients d’une forme adjointe — +, + +20, de telle sorte que Ati —— 2x5; A,x, = — x,, les conditions de covariance deviennent des conditions d’invariance. On peut donc considérer les x comme des coefficients et les y comme de nouveaux coefficients ; du covariant K on déduit alors le nouveau covariant
(25) f OK + y 2K ‘ J1 07: 70 5x0’
divisé par le degré de K en x; on lui donne le nom de pre-
mière polaire de K. Si K — A2 —=(zx;+Azx,)? on a, pour expression de cette polaire,
J'1 (æi re Axo)P—1 ne AY (æi Se ÂXo )pr1 = AP AT.
La première polaire de cette expression est la seconde polaire de K; elle a pour expression A7? A? et ainsi de suite; d’ailleurs les polaires de K se réduisent à K si l’on fait y, = 1, Mo Er.
Soit, maintenant, K, un covariant, avec deux paires de variables æ et y et de degré r en y. Si l’on remplace y par x, on obtient un covariant K ; soit R la rième polaire de K, K,—R doit alors s’annuler pour y = x (c'est-à-dire pour = +, Y1= %1) et par suite il doit être divisible par 4:75 — 719 que l’on appelle le copartant identique et que l’on désigne par (æy). On à alors
K: = R+ (Er:
où K, désigne un covariant dont le degré en æeten y est inférieur d'une unité au degré de K,; si l’on traite K, comme K,;, et ainsi de suite, on a le théorème suivant :
Un covariant qui contient deux paires de variables x et y peut se mettre sous la forme
K=R+Ri(xr) +Ro(xr)?+..., les R désignant des polaires de covariants indépendants des y.
