À l’aide du covariant K, formons le nouveau covariant

( ) LS AQU bi+...+ ae

où nous pouvons remplacer les à par les coefficients de (Y130— Z1Y0)”3; nous trouvons alors le covariant OK 0K OK OK

£ À li -1— 1 à Ty 4 ET ynE CT eme ie 7e PP Ce D SAS R CE Sas Per

VA n—2

Yo et y1 ont été jusqu'ici regardés comme des constantes;

maintenant supposons-les variables, (26) est encore un covariant, car la relation x — Èng — 2y est encore satisfaite; posons K = AË et remplaçcons y par æ, (26) deviendra le co- An de ce covariant et (26) ont une différence divisible par (xy) (23).

On peut aussi prendre K égal à un invariant, (26) sera alors un covariant d'ordre nr; si l’on pose dans ce covariant Vi=G,Yo— "1, C0NAT6IFOUVEM INVATIANL RELÉeNEDrOCOUART ainsi on déduit toujours d’un invariant un covariant d'ordre » ; au contraire, un covariant d'ordre x ne fournit pas toujours un invariant, le résultat pouvant parfois être identiquement nul; nous pouvons donner, sous une forme remarquable, la condition pour que les choses se passent ainsi. Si le covariant A7 est déduit de l’invariant J, (26) donne

variant déterminé par le semi-invariant °\Larrimnolaire

0J 0J n(r—1) OJ A = - — — A = v— ——— A = ———— 7 : dan” Me VA he) É 12 k 04 d

en sorte que n(n—1)

7) FAR Ao dur — A; dan ne À de =>

Un covariant d'ordre r détermine donc de cette manière un invariant quand le second membre de (27) est une différentielle exacte; si cela n’a pas lieu, on obtient un résultat identiquement nul.

25. Lorsque l’on a deux semi-invariants A, et B, la formule suivante en donne un nouveau

(A —B)"= AoBr— = A1Bri+...,

pourvu cependant que 7 ne soit pas plus grand que l’ordre d’un des covariants déterminés par A, et B,. Considérons la

polaire rième de l’un d’eux ur Ar Hire nt

et posons dans cette polaire = 0, æ—=1, Yo=1, Y1——B;

COVARIANTS DES FORMES BINAIRES, sol

nous obtiendrons le semi-invariant (A— B)" que nous appellerons le rième composant de A et B.

Tout invariant est le n'°"e composant de a, et d’un autre semi-invartant,; nous avons, en effet, trouvé

J = (A — a}?, A nr

Ici, (A — a)"-1 est identiquement nul; en effet, si, dans

I —1 (an —1)(n —2) Aoan-i Se À @n—9 + Er ET eur cmie A Qn-3 — © Quc I ro on fait … 49] ONU sn PE I TONAIDTR

le composant multiplié par » devient A,J, c’est-à-dire zéro. pue p

26. Tout semi-invariant est une somme de composants de a, et de semi-invariants, dont le degré est moindre d’une unilé.

Dans

0H SUER 0H SE 0H ; He TN IR Et US Das

nous écrivons le second membre

Aoün ju " AA ==

où, d’après (24), A1Ao—0; A A'= A, AA A" Ha

nous poserons A’ = A; + B,, À" = A+ 2B;+ Co, A"—=A3+ 3B:+ 3C1+ Do,

À 3 Bos Co, .-. désignant des semi-invariants de degré g — 1.

On obtient alors

comme il est dit dans le théorème énoncé. Il est sous-entendu que les ordres de A,, Bs, Co, ... Sont assez élevés pour que les compositions puissent être effectuées; tel n’est pas le cas lorsque le covariant dérivé de A, est d’un ordre inférieur à 2 n, les ordres de À,, B,, Co, ... allant en diminuant de deux unités. Nous supposerons, par exemple, D, — 0, et nous supposerons que la formation de C, ne puisse pas être effectuée. (La difficulté se présente dans le dernier terme d’une des équations précédentes.) On a alors

ARR Br GS AR A NH Ale

où K est à déterminer; or, de A, A"=— 4A”, on tire AK — 3 C: =

de ce que C, ne peut pas être formé, cela doit tenir à ce que A,C,— 0, en sorte que C, est un semi-invariant de seconde espèce; il faut montrer qu'il n’existe pas de fonction entière K, telle que A,K soit un semi-invariant de seconde espèce. En d’autres termes, il faut montrer que l’équation A,A,u —o ne peut être satisfaite que si A;,u — 0.

Supposons que « soit une solution, effectuons une permutation symétrique sur les indices; nous obtiendrons une nouvelle fonction z,, et alors A, A, u, = o et, par suite,

AoA1AoUu—=0;

ce qui nous donne, pour la première équation, la nouvelle solution À, w,.

Soient £ le degré, v le poids de w, A, u, sera de degré get de poids ng — y +1. Supposons que « soit celle des solutions de degré 2 qui a le plus petit poids, alors

VEng—V +1 ou 9 — 2 2 — 1.

A,u est un semi-invariant de seconde espèce, et si y désigne l’ordre du covariant correspondant