AY + B

Cette équation devient illusoire quand les valeurs de æ annulent À et B, y a alors deux valeurs données par une équation

de la forme A17° A B1)° De C4 +0!

SL AB; —=C —0, y a trois valeurs, etc.

Ces résultats sont surtout mis en lumière dans la méthode de Labatie, parce que toutes les expressions dont on a besoin pour former les équations de condition ou les facteurs sont calculées pendant les opérations; cette méthode est plus commode quand on a affaire à des équations numériques, et doit être alors préférée; tandis que les méthodes d’'Euler et de Sylvester, qui donnent le résultat au moyen d’un déterminant, sont préférables dans le cas où le calcul complet des résultats n’est pas exigé.

Méthodes de Bézout et de Laurent.

34. Les méthodes d'élimination que nous avons développées ne sont pas, en réalité, très différentes; elles se réduisent, en définitive, à déduire, des équations données, de nouvelles équations linéaires en y, et à en éliminer les y; la méthode suivante de Laurent à pour but de montrer leurs rapports. Soient f(y) —=o et o(y) = o les équations données que nous supposerons des degrés m et nz ou mn. Soient D(y); dy), …, 0, (7) des polynomes de degré n—1 linéairement indépendants. En multipliant f(y) par ces polynomes et en divisant les produits par (7), on obtient 2 équations de la forme

(1) G26r) 10) — qi )o(r) = & + bi + CN? +... + Gyn A. Considérons le déterminant des coefficients des restes

HZ SEM a C3 RU NE

Soient A,, À, ..., À, les mineurs de R relatifs à la première colonne; si nous multiplions les équations (1) respectivement par ces mineurs, et si nous ajoutons, nous obtenons l'équation

(2) HO) EAG(Y) — 8 (9) EAïqi(r) = R:

cette identité montre que tout facteur commun à /(y) et à o(y) appartient à R; et, comme R ne contient pas y, R—=o est la condition pour que f et + aient un facteur commun. Si les coefficients de f et de o dans (2) sont respectivement de degrés n —1 et m—1,/f et © ont un facteur commun du premiér degré et 0/6S HA IrES Lt ANTEQCE OC UUE"0:

Si R n’est pas nul, (2) donne le théorème suivant :

We ï

Stf(y)eto(y) n'ont pas de facteur commun, on peut tou- Jours trouver deux polynomes À et B des degrés n—1 et m —1, respectivement tels que l’on ait identiquement

Af(r)—Be(r)=r.

Lorsque R — o, on tire des z —1 équations distinctes, obtenuesten égalant les restes à zéro, les‘valeurs'de y; 72,2, Pins où vyrmdésiene AP rACINENCOMIHUNEMAM/U)HOMREL p(y)—o.

On peut remplacer les fonctions 0 par des combinaisons linéaires de celles-ci qui soient linéairement indépendantes; les a, les b, ... seront ainsi remplacés par des fonctions linéaires de ces quantités; le déterminant R sera alors multiplié par le déterminant de la substitution correspondante. En faisant varier les coefficients des 0, R acquerra des facteurs divers. Laurent prend les 0 égaux à 1, y, y?, ..., y"; dans ce cas, en désignant par Y1; Ya, -.., y, les racines de w(y)—o, les équations (1) deviennent

(3) ne fCYx) = + biyr+.s + y t.

Si l’on forme le déterminant qui a pour élément général le second membre de cette équation, on voit, d’après la forme

de cet élément, qu’il est le produit de R par

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