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a” 2 . — MONA VS EURE

comme D — o pour y; — Yy,, on voit que D est divisible par le produit des différences des racines y, et comme D et ce produit sont de même degré, ils ne peuvent différer que par un facteur numérique, et il est facile de voir que ce facteur est: (voir p. 48); D? est donc le discriminant de o(7). Si, au contraire, on considère le déterminant qui a pour élément général le premier membre de (3), on le trouve égal à

HO Ce Cr) D RENTE ARE ES LR RENE

on à donc

ce qui (p. 45) donne la forme la plus simple de la résultante.

Maintenant supposons qu'avec ce choix spécial des 6, l’on ait A, — 0 : le terme en y”-! dans Z2A;0, s’annule, le coefficient de f(}7) est alors de degré n—2 dans (1)},et f(y)eto(y) ont pour R == 0 un facteur commun du second degré; si l’on a encore À, ,—=0o, ces fonctions ont un facteur commun du troisième degré, et ainsi de suite. Si le facteur commun est de degré nz —:1, il ne devra différer que par des facteurs connus de chaque reste; tous les éléments de R d’une même ligne sont alors proportionnels à ceux d’une autre ligne, et tous les mineurs de R sont nuls.

Laurent évite les divisions à l’aide de certaines fonctions auxiliaires, mais le déterminant qui exprime la résultante est un peu moins simple; comme ces fonctions sont souvent utiles, nous allons les faire connaître.

Soit F(y)—o une équation de degré m ayant toutes ses TACINES A1, Ass +.) Am inégales; on pose

Hi)

HE Dou)Fta

les £ sont des fonctions entières de degré m—1, Ë; se réduit à 1 pour y—=a; et s’annule pour les autres valeurs de a; il en résulte que, si L(y) est un polynome quelconque de degré m—1 au plus, on a identiquement

dCr) — La: )Ë1 —- V(a2)E2 +. . .—+ DIT):

Si l’on prend d égal aux #2 expressions de la forme fCy) G(ai)—o(7y) f(a;) ?

.) Fu «&i

on obtient en fonctions linéaires des £ qui, pour une racine commune de f(y)—=0, o(y)= 0, s’annulent à la fois; si l’on élimine les £ des équations obtenues en égalantles fonctions linéaires à zéro, on obtient la résultante. Laurent montre qu’elle contient en facteur le discriminant de F(y); dans les applications, il n’est pas nécessaire de former ce discriminant; et l’on peut prendre pour les a des nombres arbitraires.

Bézout, Cauchy et Cayley ont fait connaître des méthodes d'élimination qui, au fond, reviennent à prendre (lorsque m—n) 0,, 6, ... égaux aux coefficients du quotient de la division de o(x) par y — x; g3, q+, ... Sont alors les coefficients du quotient de la division de f(x) par y — x.

Systèmes de plusieurs équations à plus de deux inconnues. Théorème de Bézout.

3). Bézout a démontré, pour la première fois, que l’élimination de # — r quantités entre Æ équations conduit à une équation finale au plus égale au produit des degrés des équations en question.

Pour plus de simplicité, nous supposerons que les équations données soient au nombre de quatre, nous les supposerons à quatre inconnues æ, y, z, u, et tout à fait générales des degrés m, n, p et g; nous supposerons m2n2pÎq.

De la dernière équation, on tire w7 en fonction entière des autres inconnues et en fonction linéaire des puissances moins élevées de «, et, en multipliant par w, on peut ainsi obtenir toutes les puissances de « en fonction linéaire des puissances

SUR L'ÉLIMINATION. Gi

inférieures à g. Si l’on porte ces valeurs dans les autres équations, « n’y entrera plus qu’à la puissance g — 1 au plus; de même, de l’avant-dernière équation, tirons la valeur de z?, et, en continuant, on tirera la valeur de y” de la seconde. Ces substitutions faites, la première équation ne contiendra pas de termes divisibles par y”, 37, u, elle sera de forme entière et homogène dans le sens où nous avons déjà pris ce mot.

Maintenant multiplions la première équation ordonnée par rapport à y, z, u, et dont les coefficients sont fonctions de x, par un polynome P, contenant tous les termes de la forme AyBzYuÿ non divisibles par y", zP, u7. Supposons que le premier coefficient de ce polynome soit égal à un. La multiplication une fois effectuée, faisons encore disparaître les termes divisibles par y”, 3°, u7, l'équation contiendra autant des autres termes indéterminés que de coefficients indéterminés, et cela sous forme linéaire; on peut les déterminer de manière à annuler tous les termes en y, z, « et le résultat est alors l’équation finale.

Pour déterminer le degré de l’équation finale, nous observerons que le degré de la première équation est m». Le degré du facteur par lequel on l’a multipliée, et qui, au moyen d’indices convenablement choisies, est rendu homogène, étant L, le produit sera de degré m+k, le nombre des termes du produit est »pq, c’est Ile nombre des termes du produit

(y Pie Eye) (Es... Hz 1)(itu+...+uit),

qui ne diffère du premier que par ses coefficients qui sont linéaires par rapport aux coefficients indéterminés. Soient {®) un terme de P et «{”) son coefficient ; «(")/0 est de degré p, il se trouve multiplié dans le produit par un facteur de degré » en +. Le produit à la forme

(auto + bal) +,,..)70 + (da0 + cat +... JIM E,..;

si l’on égale à zéro les coefficients de /(), {1), ..., et si, entre les équations obtenues, on élimine «&f°), «(l), ..., ce qui se fera en égalant à zéro un certain déterminant, les termes de la diagonale sont les coefficients de termes de la forme

at") 40, Ces coefficients sont de degré m, et leur produit est de degré mnpq. Tous les termes de l’équation finale ont donc une somme d'indices égale à mnpgq, et, par rapport à x, elle sera de degré mnpq au plus. Il est facile de voir que ce degré n’est pas, en général, inférieur à m#npg; en effet, si l’on considère les équations particulières

æ—=; y", PET, imCUE, PEL,

leur équation finale est bien de degré mnpgq.

36. Si l’on n’introduit que pq — 2coefficients indéterminés dans P, on peut faire disparaître tous les termes, à l’exception de celui qui contient seulement x et de celui qui contient une des autres inconnues au premier degré; on a alors une équation qui détermine cette inconnue lorsque l’on a tiré x de l'équation finale, et la discussion s'achève comme dans la méthode d’Euler exposée à propos de deux équations; cette méthode d’Euler, en réalité, est identique à celle de Bézout.

Exemple :

x? + ÿz = a?, y? + xz = b?, 322+ xy = c?

On à

PAM D PAT 7e

93?3 = x —xe? +xry,

ÿz? = c?y —xb? + x?z,

V2 bc Dry — C2xz + x?yz et

(Y3 + 3 +$iy +Yy2)(y3 +ax— a?) = 0.

Si l’on effectue la multiplication et si l’on remplace y?, :?, 7*3, 2° par leurs valeurs, on obtient, en égalant les coefficients de y:, z, y et le terme indépendant à zéro, et en éliminant les coefficients &,, GB, y», l'équation finale

Pr c? 2x2 — a? 0

On voit que tous les termes d’une ligne diagonale sont du second degré, ce qui confirme ce que nous avons dit sur le degré de ces termes en général. Pour trouver y et 3, posons

(Gay +a)(y3+2?— 2) = 0 ou

32ÿ + do 9?35 + d1Y2 + 5 (22— 2) + a Y(x2— a?) + (x? — a?) = 0;

si l’on remplace + y et y?3 par leurs valeurs, et si l’on égale à zéro le coefficient de yz, on a

2(222— a? + a90?) + | ao(2x?— a?) + 2] — x(b2+ ac?) = 0: en égalant à zéro les coefficients de y ou de sz,on a

V2 — (22? — a} ] = x[bt— (2x2 — a?)],

3 [b2c2— (2x2 a] = x[ci— b(2x2— «&)].

Les équations que nous venons de traiter peuvent être résolues plus simplement, en ajoutant les deux dernières et en les multipliant entre elles, puis en éliminant y +3 et yz. L’équation finale du huitième degré se ramène au quatrième, énposant rw.

31. Nous pouvons donner à la méthode que nous venons d'exposer une autre forme; elle revient, en réalité, à retrancher d’abord de l’une des équations les autres, multipliées par des polynomes déterminés. Par exemple, pour faire disparaître de f —0o de degré r > p les termes qui contiennent DCR Dauemoyendeléquation

©—= AP+ XP 1+,,.= 0, on à

x P = Q —+- EU

LP = LO—axP+...= (Tr —4)9 +..., ‘ i

AL = Àn p9 + ;

où À,-, est de degré 7 — p, en sorte que, pour faire disparaître les termes en x?, ær+!, ..., on écrit

f— By?

où B,-, est un polynome de degré nr — p.

De cette façon si p,— 0, 9:—0, p;— 0, », — 0 sont les équations considérées au n° 35, nous avons d’abord formé l’équation

O1—+ À po + Bo3+ Co, — 9,

nous avons ensuite multiplié cette équation par un facteur, et nous avons combiné le résultat de la même facon avec les trois équations 9: 0, 03— 0, ®, — 0; nous avons alors trouvé

Ao1+ (AA + A1)v2+ (AB + Bi)o3+ (C0 + Cp = oo

et cette équation, quand on y suppose les coefficients du polynome multiplicateur convenablement choisis, est la résultante ; en sorte que celle-ci est de la forme

À1D1+ Aa Do + À Ds + A, = R —"0.

Théorème de Jacobi.

38. Pour simplifier, nous ne considérerons, dans ce qui va suivre, que deux équations; néanmoins, nos conclusions seront tout à fait générales, et nos raisonnements pourront sans difficulté s'étendre à un plus grand nombre d'équations.

Soient les trois équations

o1(7,Y,3)=0, Da tiL se de 0, Os(T;Y, 2) — 0,

pour la commodité du langage, nous supposerons que ces trois équations soient celles de trois surfaces. Alors les coordonnées de leurs intersections sont les solutions de ces équations. Soient m, n, p respectivement les degrés des équations en question, posons »#2np =; nous désignerons par (x;y;3;:) les coordonnées des intersections et nous suppose- TONS LL D EE

Il existe un théorème important sur les fonctions symétriques des coordonnées des points d’intersection des trois surfaces, dû à Jacobi et que nous allons démontrer.

Soit f(x)—0, une équation ayant toutes ses racines x;, Les +. Æn distinctes; en désignant par o(x) un polynome

quelconque, la formule relative à la décomposition en éléments simples donne

Tj o(xi)

f(x) formule d’où les termes entiers disparaissent si le degré de o(æ) est inférieur à ? — 1. Si l’on y faitx —o,ona

, OT k = Ÿ ?( i), sd (a) et £ — o si le degré de o est inférieur à r — 1. Posons maintenant

ei DEEE ALP OS ER HE )

A1191+ 12%2+ di3®3= X, (1) { Ào1®1+ Â22Da + do5®3 = Y, À 31 D1 + 32 Do + 3303 = Z;

X, Y, Zne contenant respectivement que x, que y et que z, ces quantités sont de degré p; nous supposerons nos équations générales, en sorte que le déterminant fonctionnel

TAN OL OZ pa pa 00»

L Or d'os 903 093 003 DTRar Oz

sera différent de zéro aux points d’intersection de nos trois surfaces. Nous poserons

AZ) 3033, A sera le déterminant des équations (1), et nous aurons Ao;= A;X + B;Y + CZ.

Nous pouvons combiner les p racines des équations X — 0,

Y—o, Z—0o ensemble de p? manières; ces combinaisons

comprendront les coordonnées simultanées des 4 intersec- P. D

tions de nos surfaces. Chacune de ces p° combinaisons annule Ao; et, comme les ® s’annulent à la fois et aux points d’intersection seulement, À devra s’annuler pour les autres combinaisons en nombre pp? — y.

Le théorème de Jacobi apprend à évaluer la fonction sy-

métrique U( T, SA 3 MAT AT 47 > D

où d est une fonction entière quelconque, et où la sommation s'étend à tous les points d’intersection des trois surfaces. Si nous différentions les équations (1), en négligeant les termes nuls avec les ©, nous aurons

Op + dv Os NE Mie Ce Gt qe Ne 00: 00» 003 PRE TES Cal 2e VAR (2) { Ans 5e 29y + A3 07 0, do: 002 003 RE np PR As \ ki 3 AIT EE oz He

et deux systèmes analogues. Formons le déterminant

FOX RD TO X'YZ=]|0o Y'o DRE

et remplaçons ses éléments par leurs valeurs (2), nous obtenons le produit des deux dé erminants D et A, donc