DA= XV

La somme que nous avons voulu évaluer se réduit alors à

St AA

elle doit s'étendre à toutes les intersections; mais on peut, sans inconvénient, l’étendre à toutes les combinaisons des racines de X —=0o, Y—0o, Z—0o, à cause de la présence du facteur À, nul pour les combinaisons qui n’appartiennent pas

aux intersections. Cette somme se décompose en d’autres de

la forme » aa yh zY ” XX YB ZŸ NIVIZUE, X' DE 7)

Ce produit, d’après ce que nous avons vu, s’annule quand «, P, y ne sont pas simultanément égaux ou supérieurs à p — 1. Si le degré de YA est alors inférieur à 3(x4 — 1), la somme en question sera nulle; si le degré LA est égal à 3(1 — 1), elle sera égale au rapport des coefficients de æb-1, yB-1, sk-1 au numérateur et au dénominateur.

Comme la différence des degrés du numérateur et du dénominateur n’est pas altérée par l'introduction du facteur A, on peut dire que la somme en question est nulle quand le degré de Ÿ est moindre que le degré de D.

Méthode de Poisson.

37. Considérons d’abord trois équations des degrés mn, n,p (1) Om(T, Ÿ3 3) = 0, ANA INE DÉCLT, Se:

Eliminons z entre les deux dernières, nous aurons

l ne (2) RS (ay)=e.

La dernière équation est de degré »p, et d,, d, sont des fonctions entières. Si donc on regarde æ comme une quantité connue, on aura »p valeurs de y et np valeurs correspondantes de z. Nous supposerons les équations données homogènes dans le sens déjà donné à ce mot, c’est-à-dire que nous supposerons, par exemple, à y'’z° un coefficient d'indice m — r —s dans la première équation, et ce coefficient sera une fonction entière de x dont le degré sera égal à son indice. Nos deux équations (2) sont alors homogènes dans le sens convenu.

Nous appellerons fonctions symétriques des »2p solutions M EMA Va Zee des fonctions qui ne changent pas quand,

on permute à la fois z, et z,, y, et y. Les fonctions symétriques des solutions seront des fonctions symétriques de Yi Yas .. Si l’on y remplace z;, 5:, ... en faisant usage de la première formule (2), et pourront être exprimées rationnellement à l’aide des coefficients de la seconde équation (2), coefficients qui sont fonctions de æ. Comme les équations dont on à fait usage sont homogènes, les fonctions symétriques homogènes par rapport aux solutions seront homogènes par rapport aux coefficients. Par exemple

J1Z21+ 232... + Ynpenp

sera transformé en

pi (x, r1) di (x, Ye) CRE AL î NP RL ER ANT —+ [È" 2 Wa, Ji) V2 4 (x, Ja)

dar!

et sera exprimable en fonction de æ seul, c’est-à-dire en fonction des coefficients des équations données. Comme nos fonctions symétriques sont fractionnaires, on doit s'attendre à ce que leur expression sera fractionnaire et que la différence entre le degré des numérateurs et du dénominateur sera le degré de la fonction symétrique. Nous allons prouver que le résultat est entier et que le dénominateur divise exactement le numérateur. En effet, s’il n’en était pas ainsi, il existerait des valeurs finies de æ rendant infinies des fonctions symétriques entières de Y4, 31, Vos 329 «.., Ce qui ne peut arriver que si l’une des quantités ÿ1, 31, Yo, 3», ... est infinie. Or, les équations L,— 0, L,— o sont tout à fait générales, même quand x prend une valeur particulière, et l’on sait que de pareilles équations n’ont pas de solutions infinies.

La condition pour que la première équation soit satisfaite par un des systèmes trouvés est

(5) Om(Z; V1; Z1) Om(L, Ve; 22)... Om(L, np) Znp) = 0,

ce produit est une fonction symétrique entière de æ;, y, Las Va, -.. et peut s'exprimer en fonction de z; chaque facteur est une fonction homogène de degré mn, et ce degré ne

change pas quand on passe des fonctions symétriques aux coefficients; l’équation finale est donc de degré mnp.

38. Si l’on élimine s entre vo, — 0 et vo, —0o, on obtient une équation entre æ et y de degré mn; si l’on élimine 3 entre Pr —=0 et 9, —0, On obtient une équation de degré np. En éliminant y entre ces deux dernières équations, on obtient une équation de degré mn?p, rationnelle en x. On ne peut donc employer ce procédé d’élimination sans introduire de solutions étrangères; mais on peut utiliser ces calculs pour obtenir y puis z rationnellement en fonction de x.

Il est facile d'interpréter les solutions étrangères, si l’on considère les deux équations en x et y : la première exprime que 0, eto,ontun facteur commun; la seconde exprime que 2, et ©, Ont un facteur commun. L’équation obtenue par notre dernier procédé exprime donc que la première et la deuxième équation ont une solution commune, que la deuxième et la troisième ont une solution commune, tandis qu’il faudrait exprimer que les trois équations ont une solution commune.

Si l’on désigne par

= . Un 4 AE SN mi).