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les valeurs de z tirées des trois équations, on peut combiner, pour les égaler, une valeur de chaque groupe, ce qui peut se faire dé z2np manières, tandis que l’on peut obtenir mn°?p combinaisons en égalant une valeur du premier groupe avec une valeur du deuxième, et une du deuxième avec une du troisième.

Si l’on considère, par exemple, trois équations représentant trois surfaces du second ordre, en éliminant deux fois z, on obtient les équations des courbes du quatrième ordre qui projettent l'intersection de deux surfaces sur le plan des xy ; ces courbes se coupent en 16 points; 8 de ces points sont les projections des intersections des trois surfaces; les 8 autres sont les projections de points d’intersections de parallèles à l’axe des z, avec les courbes, intersections qui sont distinctes.

39. Nous avons montré que, dans un système de trois équations de degrés m, n, p, deux inconnues pouvaient s’exprimer rationnellement au moyen de la troisième, cette dernière étant déterminée par une équation de degré mnp. Nous avons montré que, si les équations étaient tout à fait générales, ce degré était précisément mnp. Dans des cas particuliers, le degré peut s’abaisser; alors une ou plusieurs solutions sont infinies. De même, les valeurs de y et s exprimées en + pourraient être indéterminées; ce cas se présenterait, comme on l’a vu, à propos de deux équations, si, à une valeur de +, correspondaient plusieurs valeurs de y et 3, données alors par des équations de degré supérieur.

On voit facilement que la démonstration que nous venons de donner s’étendrait à quatre équations à quatre inconnues, et nous n’entrerons pas, à ce sujet, dans de plus amples développements.

k0. La méthode que nous venons de donner pour le calcul des fonctions symétriques est très pénible et peut être simplifiée comme il suit : écrivons la première équation donnée ainsi Am—Uu = O,

äm désignant les termes qui ne contiennent que æ, et — u désignant les autres termes; si, comme plus haut, on rem-

place Ya, 33» Vos 329 . .. par leurs valeurs (3), w prend np valeurs w1, U, ..., et l'équation finale est (4) (Am — ü) (mn = U) . (Am— Unp) — O;

on exprime alors 3 rationnellement en fonction de æ et y [37 (2)], et si l’on porte ces valeurs dans «w, on à

(3) TN AT Si l’on élimine y entre cette équation et (x, 7) 0:

on obtient une équation en « de degré np; et quoique w se

présente sous forme fractionnaire, on voit, comme plus haut, que les coefficients de l’équation en « sont des fonctions entières de æ. Comme l’équation en « peut s’écrire

(u—w)(u— us)... (U—Uunp)=0,

il suffit d’y remplacer « par a, pour obtenir l’équation finale.

On pourrait aussi bien tout de suite remplacer « par a, dans (5), ce qui revient à éliminer y de l’équation L—o et de la première après en avoir fait disparaître 3. Mais la forme du résultat serait changée, et l’on ne verrait pas immédiatement le facteur que l’on doit supprimer, tandis que l’on sait que, quand on à «, c’est le coefficient de w”?.

Exemple. — De LH Ys = Q?,

J?+ zx = ?,