SUR LA SOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS
Méthode de Hudde.
91. L'équation du troisième degré (1) Xi—1—=0 est irréductible. Ses racines sont 1, «et 6, et l’on a
= : . 9 Es P . À ( 2) À — sue k 8 tt * ivs,
entre ces racines, on a les relations remarquables
1+a+f$—=0; 1+ a+ $2— 0; CE SE
L'équation générale du troisième degré, ou équation cubique, est de la forme
33+ Az2+Bz+C—=o;
la substitution
la ramène à la forme (67) a+ ax + b —=0
que l’on peut résoudre de plusieurs manières.
52. Nous remplacerons æ par deux nouvelles inconnues P; g; en posant
(4) X—=p+rq; l'équation (3) deviendra alors pi+qgi+b+(3pq + a)(p +q)—=0,
et sera satisfaite si l’on détermine p et g au moyen des deux équations
(5) pi+qgi=— 0; PO RES En élevant la dernière au cube, on a
Ve a \>
(6) D'qe —— (5) .
Il est à remarquer que l’on obtiendrait encore cette dernière équation en remplaçant a par œa ou Ga.
p* et g* sont racines de l’équation
, Tu Qu
et sont déterminés par les formules
Me he Cet)
d’où l’on conclut
eo e=4ÿ/-2+ (+0) V0")
formule connue sous le nom de formule de Cardan. Comme une racine cubique a trois valeurs, on a, pour +, neuf valeurs ; il s’est donc introduit six racines étrangères; cela tient à ce que l’on a remplacé la deuxième équation (5) par (6) :
L ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ OU ÉQUATION CUBIQUE. O1 les neuf valeurs sont racines des trois équations
a+ ax+b—=o, (10) L8+aax + b = 0,
a+ 8ax + b = 0.
Pour séparer les racines de ces équations, nous observerons que chacune d'elles est relative aux hypothèses respectives (11) pq=— 3; PA=——: pq = À.
Si a et b sont réels, p et 4 doivent être choisis de telle sorte que leur produit soit réel. Nous avons trois cas à considérer:
b\? 3 ’ 1° (:) + (5) 0 10 CUP SOILE lééls ietgIOntUNEeyesS 3 |
tème de valeurs réelles; si l’on désigne ces valeurs réelles par p, et g:, tous les systèmes des valeurs de p et q seront
(12) ES CAT TION NUIT UNS CTI et l'équation proposée aura pour racines Li — Pit 415 La = Pa +16; T3 = P1B + q12,
de manière que pg soit réel dans tous les cas. La deuxième et la troisième équation (10) auront pour racines
Pi qi; Pit+q1; PB + q1b, Pi+gq1iB; PiB—+qi; Pit +qia.
On peut aussi poser
ce «a «d (29) Due ou Fa 2
et l’on n'obtient alors que les véritables racines. Dans le cas que nous venons d'examiner, l’équation à une racine réelle et deux racines imaginaires.
MDN? a\35 : . ’ DS (2) mr. (ai — 0, pi et g, Sont égaux, l’équation a ses
racines réelles; mais deux d’entre elles sont égales.
p et g Sont également imaginaires, mais on peut accoupler
b\2 \ 3 ; SHREE 3° (2) + (5) — o. Dans ce cas, p° et g° sontimaginaires,
+ «& s z ‘ leurs valeurs de manière que pq = — = soit réel; soient p: J et g, de telles valeurs. Les formules (12) fourniront encore les racines, même lorsque a et b sont imaginaires. Quand a et b sont réels, les racines affecteront une forme imaginaire; il est facile de montrer qu’elles sont réelles. On
a, en effet,
Si l’on pose alors
/ / TE PA: , (15) — = =7rcost, EAN — (©) 0) = r Sin, #1, . 2 3
on trouve
(16) p'=r(cost=e7sin 0); qgè= r(cos0 — à sin), où b (17) dt \/ L EE OR Dn J
9 est donc dans le premier ou le second quadrant, car sin 0 est positif. On a alors
| Ne PT PA Tr =. 247 +0 I =, 5 Tin ra)
(18) 4 EN 2 kr + 6 2k7r + 0\ la =4/—;5 (cos 5 — — }) et
où # doit recevoir les valeurs o, tr, 2.
Les trois racines, dans le cas qui vient de nous occuper, sont donc réelles et inégales. On lui donne le nom de cas irréductible. On ne peut représenter les racines au moyen de radicaux que sous une forme imaginaire.
Lorsque l’on essaye de calculer p et g sous la forme
