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sans faire usage de fonctions trigonométriques, on est fatalement ramené à l'équation donnée.

Méthode de Lagrange.

53. Lagrange cherche à déterminer une fonction des racines qui, une fois connue, permette d’en utiliser les racines. La fonction considérée par Lagrange est

Lt T=(ri+ axe + xs},

OÙ Li, Lss &3 SOnt les racines de l’équation proposée et «, 6 les racines cubiques imaginaires de l’unité. Cette fonction dépend d’une équation du second degré; en effet, elle n’a que deux valeurs, car les six valeurs qu’elle semble prendre quand on y permute les racines ne sont pas distinctes; ainsi, on à (51)

Li a Xo + Bars = a(Brit+ rot ars) = f(am+ Brita),

ab

(ti + a ta + Br) = (Bars + da + axa) = (ax + Pro + 23) y n’a donc, en réalité, que deux valeurs distinctes, soit J1—= (Li + a Lo + Bxs)3, J'2 — (A Li + Lo + Bars},

dont la somme et le produit peuvent s'exprimer rationnellement au moyen des coefficients de l’équation. On trouve

et les racines sont données par les formules le Ts = 0:

Li + A La + Pts — Ÿ 1;

. Or De LI E Lo P 3 — Vr2;

Nous ne ferons pas de discussion.

Méthodes de Tschirnaus et d'Euler.

54. Ces deux méthodes, au fond, rentrent l’une dans l’autre ; en posant (1) RENE

et en choisissant p et g de manière qu’en éliminant y entre cette équation et

(2) Ted

on trouve l'équation proposée. On peut aussi se proposer de ramener l’équation à la forme (2) en posant

Ra DE Ce + Exemple :

XI + AX— IL —I—O, ï 7 m Tee (2 3 C=Y——> V3— LY— — —0 Le — |( —- 40 UE s 90 27 5%) 0e A 54 [ COSO = "+ — =; (2700064 VC) 27 f 2 y 2PT + Ÿ Re V COS - - 5 V7 3

Problème. — Quelles sont les équations irréductibles du troisième degré dont une racine peut s’exprimer rationnellement au moyen d’une autre?