CHAPITRE I. — ÉQUATION DU TROISIÈME DEGRÉ, ETC

Si æ, et æ, désignent les deux racines, on pourra poser M = a + brs+ cxi,

car toute fonction rationnelle d’une racine affectera cette forme (26).

Soit J(x)= 2 + prx+qzx+r—=o

l'équation demandée et W(x) —o l'équation qui à pour racines!les trois valeurs de a + bx, + cxi: f(x)=0et W(z)—=o ont alors une racine commune et, comme f(x) est irréductible, toutes leurs racines doivent être égales deux à deux; comme on ne peut pas avoir, par exemple,

Z3= a + bxz + cx?,

car æ, serait racine d’une équation du second degré, il faut

que l'on ait L= A + bxs + cr,

La a + bxz+ cxi,

Ti AH DT CL.

On tire de ces équations

VD

D = (x; — x2 }? (La — La)? (Xe — x1 )? (voir JOUR

b et a contiennent (/D au dénominateur; mais ils ne contiennent pas d'autre irrationnalité. Toutes les équations du troisième degré pour lesquelles VD sera censé connu jouiront alors de la propriété demandée; en prenant VD successivement avec le signe + et avec le signe —, on aura deux racines en fonction de la troisième.

a6 DEUXIÈME PARTIE, — CHAPITRE UT,

BIQUADRATIQUE.

Méthode de Lagrange.

59. La résolution de l’équation du quatrième degré s’effectue au moyen d’une équation du troisième degré, que l’on appelle la r'ésolvante. L’inconnue de cette dernière équation est une fonction des racines de la proposée qui n’a que trois valeurs. Il existe plusieurs fonctions jouissant de cette pro-

priété, par exemple Li Lo + La,

(ti + Ta)(Xs + xs), (Ci Co Et CS cl}, JÉa Lagrange fait usage de la première; il pose (1) PV1= Lilo + A3 Xe; Je — M L3 + Lo, ; F3 = Lily + L2d3. Si l'équation donnée est (2) f(x) = x'+Aai+Ba?+ Cr + D — 0, on à Ja rs ViY2+Y1Y3+VaY3 = 2%Î Lits = AC —4D, ViVaŸa = Exi ratad, + Zxi xè xè = D(A?— 4B) + C?; la résolvante est alors

(3) Y3— By2+ (AC--4D)y + D(4B — A2) — C2 = 0.

Méthode de Descartes.