Tschirnaüs ramène l’équation à la forme
J*+Pr2+Q0=0o en posant a bx + x?
et il détermine a et b de manière à annuler les coefficients
ER MAPA MUSÉE Euler élimine y entre
æ= à + by + cy?+ dy3 et Me E;
et détermine a, b, c, d et e de manière que la résultante coïncide avec l'équation proposée. Nous n’indiquerons pas comment les racines de la proposée dépendent de l'équation du troisième degré que l’on obtient ainsi. Euler a aussi indiqué une méthode analogue à celle de Hudde pour le troisième degré en posant
DD qHr;
ou peut disposer de p, q, r de manière à décomposer l'équation en trois autres qui font connaître p?+qg?+7r?, p?q?+p°r?+q°r?,
et pqr; p?, get r? sont alors racines d’une même équation du troisième degré.
Étude approfondie de la méthode de Descartes.
59. Dans la pratique, il convient de donner la préférence à la méthode de Descartes, en la modifiant un peu. On ramènera d’abord l’équation à la forme
(1) at+ ax?+bx+c—=o,
et l’on posera
(2) xt+ ax?+ br +c=(xt+ax+f$)(x?— ax +), et, par suite,
(3) a+ GE Ya, GED) 0; By —c,
on en déduit
b Fou À = ee NME TEE ou (4) ai+oaat+(a?—4c)a?—b?= 0;
cette équation, en posant «?— y, devient (5) Vi+oay?+(a— 4c)y —b2= 0;
J’équation en œ a six racines, à savoir les six valeurs de
Ti + æ,; elles sont, par couples, égales et de signes contraires, car (1) donne Ti —— La —+ L3 —- Try = O.
Si a et b sont réels, le dernier terme de la résolvante est négatif; elle a donc toujours une racine positive et les deux autres sont toutes deux positives, négatives ou imaginaires; a —\/y sera alors réel au moins pour une valeur de y; or
(6) ; Les b
2 SŒin
deux racines seront donc fournies par l’équation
(2) L?+ ar + a nt 6 0.
2% et l’on obtient les deux autres en changeant & en — ©.
On voit que les racines de l’équation proposée sont données par de simples extractions de racines carrées, si la résolvante a une racine rationnelle, et cette condition, comme on le verra plus tard, est nécessaire et suffisante pour que l’on puisse résoudre la proposée au moyen de racines carrées.
Si l’on a
pour les deux valeurs, l’équation (7) du second degré montre que les quatre racines sont imaginaires; elles sont toutes réelles si l’on a, au contraire,
réelles et deux autres imaginaires.
Si l’équation proposée a des racines égales, les deux équations du second degré considérées plus haut auront une racine commune, ou bien l’une d'elles aura une racine double;
dans ce dernier cas, on a
; a ; b è et, Si + est compris entre + et — =; deux racines sont
ou
et, comme on à æ«?— y, on peut écrire cette équation
Cette équation devant avoir une racine commune avec la ré-
solvante, celle-ci doit être réductible. On arrive à la même conclusion en admettant que les équations du deuxième degré ont une racine commune.
60. Nous avons vu que nous n'avions besoin de connaître - qu’une seule racine de la résolvante pour en déduire toutes les racines de la proposée; on peut aussi utiliser toutes Les racines de la résolvante; appelons-les &?, «?, «;, on aura
2 9 US le af+ai+ai——24, a«ta2ai— bd? ou dax = D,
car on peut choisir &,, &, «; de telle sorte que leur produit ait le signe de 6.
La quantité placée sous le radical dans les racines de
x'+ax+f$—=o
peut prendre une autre forme; on a, pour 4 = «4,
a D (ay+ a) Â DNS don 4 et alors Li ) — dE (2 + as).
(8) A Lo A de même ( ) La GE (a—+ as) 9 era) Ut >
La résolvante a toujours une racine positive; soit «°? cette racine, et «, la valeur positive de Va?. æ,æ;, doit alors avoir le signe de b; trois cas peuvent se présenter :
0 x? et x? sont tous deux positifs. à, et «x; ont le même signe si b est positif; ils sont de signes contraires si b est négatif : les racines de la proposée sont toutes réelles.
29 a? et «? sont tous deux négatifs. On posera
ai —=—Mm, a? —=—n, m et n étant positifs; on à alors
G=<iym; as=+iyn
102 DEUXIÈME PARTIE. — CHAP. II. — L'ÉQUATION DU 4° DEGRÉ. si d est positif et = —+iym, = +iyn si b est négatif; les racines de la proposée sont imaginaires dans le cas où 77 et z sont inégaux. Si n — n, deux racines
sont égales, les deux autres imaginaires.
3° a? et «> sont lous deux imaginaires; alors on posera
aÿ = r2(c0os0 + :sinb); a3 = r?2(C080 — :sin0) EU
() test 0 a=ær (cos +isine :
D 3) 0 "0 0 as=ær (cos > — isin > ), 2 2
et les signes de 7 seront les mêmes ou non, suivant que b sera positif ou négatif; dans le premier cas, on à
— 4 2r COS — >
T1 | ? — 5 Lo \ 2, A et a 21rsin- T3 AL 2 :
Ty, | ri 2, A dans le second, ut 0 — 4 EE 2irsin- T 2 | de, SN URERENRRS Lo 92 1227 COS — T3 LA > Ty, | ?}
l’équation proposée a alors deux racines réelles et deux racines imaginaires.
Expression des racines au moyen des lignes trigonométriques.
