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ce qui doit être une identité, ce qui est absurde si l’on a plus de deux racines, une permutation circulaire de trois lettres altérant le premier membre sans altérer le second, d’après notre hypothèse.

Il faut donc nécessairement que l’on tombe sur un radical qui ne présente plus le caractère en question. Ainsi on parviendra à une expression

CCE,

dans laquelle B reste inaltéré après une permutation circulaire quelconque de 3 ou 5 racines, cette propriété n’appartenant pas à s.

Supposons que z change de valeur quand on remplace x;, Lay L3 PAT Lo, Ts, &, respectivement, les valeurs de 3 sont

racines de zr= B:

entre deux valeurs de z, on aura une relation de la forme TRE OS de nr) re] (lei Ti TD nl

qui doit être identique; elle doit donc subsister quand on y permute les trois racines. On a donc

RP ee En) = A) (CLu: Liile, TIM US LUN

f(xs, Li, Lo, Lys Th) —= Gf(Ta, La, Las Lys see, Æn)

et en multipliant les trois équations, membre à membre, on à (FR

Si donc il y a trois ou un plus grand nombre de racines, on doit rencontrer un radical cubique.

Désignons par

les trois valeurs de ce radical, on à 2% — BD:

Supposons qu’il y a plus de quatre racines; une permutation circulaire de cinq lettres n’altère pas B. Par cette permutation, pour que l’équation ne change pas, z doit se changer en «z ou en &?s; si z change par cette permutation, on montrera comme tout à l'heure que

CA et À

ce qui est impossible, puisque « est une valeur imaginaire

de 1°.

Alors 3 doit rester invariable par la permutation circulaire de cinq lettres : c’est la seule hypothèse qui nous reste à faire, en supposant qu’une substitution circulaire de trois racines le multiplie par «& ou «?.

Or, une permutation circulaire de trois quantités peut s’ob-