Dans le cas où l’équation en © n’a pas de racines égales

on à seulement ANT ts

si donc o est dissymétrique et d’une forme telle qu'aucune racine ne puisse prendre la place de x; sans que la valeur algébrique de © change, x, reste alors la seule racine commune aux deux équations; elle peut alors s’exprimer rationnellement au moyen de y, et des quantités connues. En particulier, cela aura lieu pour toutes les racines de l'équation

S1 He D(T1, Lo, , ss Un)

prend des valeurs toutes différentes pour les 2! permutations des racines. C’est la forme donnée par Galois au théorème qui nous occupe.

Si o est symétrique ou présente une symétrie partielle, toutes les racines qui peuvent prendre la place de x,, sans changer la forme algébrique de v,, sont racines communes

aux deux équations. Considérons en particulier le cas où toutes les p racines peuvent être échangées dans v,, les deux équations ont p racines communes et, par la méthode du plus grand commun diviseur, on peut former une équation qui détermine ces racines communes, ou le facteur du p'?"t degré correspondant de f(x).

La forme la plus générale d’un facteur du piè"e degré de f(x) est alors

(9) XP + pi (Y1)TPT LEP (V1) TP Lo, (ri).

OÙ Ps Pay - ++ PP SONt des fonctions rationnelles de y, et des quantités connues, y, désignant la valeur d’une fonction symétrique de p racines qui est déterminée par une équation dont toutes les racines sont simples. On peut ainsi dans ce cas exprimer toutes les fonctions symétriques des p racines en fonction d’une d’entre elles et des quantités connues.

Exemple I. — Pour l’équation

xi— Gr?+iix — 6 = 0, si l’on donne

on poser pe “ ñ 2 9 > 9 220) Vite Nemo

et l’on obtiendra, en éliminant x, et x, P—(ai+ dr +ii+e = ou, en remplaçant +, par x et y par », Xt— 5x2+2 = 0, équation qui a avec la proposée les racines de LX?— $X +2 — 0.

Exemple II. — Trouver la forme générale des diviseurs du second degré de f(x) = x3+ ax?+ bx + ec