DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES RATIONNELS, ETC

en fonction du produit y de deux racines de f(x) —0

Ji — Li, J2—= L1%3; Lo + La es O4 ainsi + (xi + 4x1) Y —X1c = 0, d’où la forme cherchée a —c DT rte Ve:

74. L’équation en + qui a 2! racines inégales et dont nous avons fait usage plus haut appartient à une classe remarquable d'équations dont nous allons nous occuper. Elles ont cette propriété que chaque racine peut s'exprimer rationnellement en fonction de chacune des autres. En effet, chaque racine est fonction rationnelle de æ;, æ;,, ..., æ, qui, à leur tour, sont fonctions rationnelles d’une des valeurs de o.

On peut utiliser cette propriété pour exprimer autant d’irrationnelles que l’on veut rationnellement, au moyen d'une méme irrationnelle, en appelant irrationnelle une racine d’une équation algébrique à coefficients rationnels; peu importe d’ailleurs que l’on puisse ou non exprimer cette irrationnelle au moyen de radicaux.

En effet, soient æ;, æ:,...,æ, des irrationnelles, déterminées par diverses équations algébriques dont elles sont racines. On peut toujours (par exemple au moyen d'une simple multiplication) former une équation dont ces quantités soient racines; si l’on considère une fonction des racines de cette équation dont toutes les valeurs, obtenues en permutant les racines, soient distinctes, les racines de cette équation et les irrationnelles données seront exprimables rationnellement au moyen de cette fonction. On peut, par exemple, prendre cette fonction égale à

(10) S'= Lili + lo +... + Ann)

en supposant l’équation auxiliaire de degré n. Il est évident que l’on peut choisir les coefficients o4, os ...,@n

puisque æ;, æ», ... sont différents, de telle sorte que toutes les valeurs de y soient distinctes.

15. Supposons toujours l’équation donnée de degré » et les 2! valeurs de © distinctes, l’équation en + pourra être

réductible; dans ce cas, supposons-la décomposée en équations irréductibles; soient

(11) O1 Po; ss 2p

les racines de l’une d’elles. On peut, comme on l’a vu, exprimer chaque racine de l’équation donnée en fonction ration-

nelle d’une valeur de w, en sorte que les racines pourront être représentées par

(12) WiCwoi), Wo(oi), ., Who).

Si dans cette suite on remplace ©, par un autre terme de la série (11), la nouvelle suite représentera encore les racines de l’équation donnée, mais dans un autre ordre.

Pour trouver l’une des racines, +,, par exemple, posons

si dans o, on intervertit l’ordre des racines, on peut transformer un autre terme de (11); le calcul, dans les deux cas, sera le même, à l’ordre près des racines, et si l’on a

Li — Wi(oi), on aura TL p — Wi(op),

æ} désignant la racine échangée avec x,, quand vw, remplace v1. Les nouvelles valeurs sont distinctes; car si l’on avait, par exemple,

Wi(pp) = Wa(op),

op Serait une racine commune à Wi(o)—W,(o)—=o et à

l'équation irréductible qui a pour racines les quantités (11). On devrait donc aussi avoir W,(o:) — W,(w,) —o (13), ce

qui est absurde puisque les quantités (12) sont distinctes.