CHAPITRE V. — DÉCOMPOSITION DES POLYNOMES, ETC

Nous verrons plus loin que ce théorème est fondamental dans les applications de la théorie des substitutions à la théorie des équations.

76. Des développements qui précèdent, il résulte que dans le cas où f(x) a des facteurs rationnels, il est toujours possible de les trouver. Par exemple, si f(x) possède un facteur rationnel de degré p, il devra exister p racines de f(x) = 0 dont le produit est rationnel. On peut trouver ce produit y en formant l'équation qui a pour racines les produits de p racines de la proposée, cette équation a alors une racine rationnelle; appelons-la Æ. On aura

L1ZLo. . .Lp — k,

et les coefficients du facteur rationnel peuvent être exprimés en fonctions rationnelles de k. Si l’équation en y avait des racines égales, on pourrait partir d’une autre fonction symétrique des racines, par exemple

= (a—am)(a— a)... (@—2p)

où l’on peut toujours choisir &« de telle sorte que l’équation en y n'ait pas de racines égales, si la proposée elle-même n’en à pas. Comme # est facteur du dernier terme de l’équation, on peut, quand il n’a pas un grand nombre de facteurs, au moyen de tâtonnements, simplifier la recherche de l’équation qui donne .

Quand £ est rationnel, il existe un facteur rationnel, pourvu que # ne soit pas racine multiple; en effet, si Æ était racine multiple, il n’existe pas nécessairement un facteur rationnel de degré p, car les équations (7), dans ce cas, peuvent avoir un facteur commun de degré plus élevé. Nous reviendrons sur ce cas un peu plus tard; nous nous bornerons à observer ici que st une équation est réductible, il est toujours possible de la décomposer en d’autres irréductibles.

ÉQUATIONS ABÉLIENNES.

Équations dans lesquelles une racine peut s'exprimer rationnellement en fonction d'une autre.

77. Gauss a montré que les équations qui servent à partager la circonférence en parties égales sont résolubles algébriquement; ces équations sont comprises dans une classe d'équations, étudiées plus tard par Abel et qui portent le nom d'équations abéllennes; ce sont des équations dans lesquelles une racine peut s’exprimer rationnellement en fonction d’une autre. Les équations réciproques et les équations du 3° degré, par exemple, appartiennent à cette classe (Exercice 54). Les équations abéliennes peuvent toujours être abaissées et souvent même résolues algébriquement.

Nous supposerons que, dans l’équation irréductible de degré n,

(1) AT) 0 on ait entre deux racines la relation (29 HO (te),

où 0 désigne une fonction rationnelle.

Si l’on forme l’équation en y qui a pour racines

(3) J1=0(x1), Dai), .….) Ye Ur),

on obtient une équation qui a une racine commune avec la proposée et, comme celle-ci est irréductible, les deux équa-

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 129

tions en æ et en y étant de même degré doivent avoir les mêmes racines. Il en résulte que, si l’on exécute l'opération 0 sur une racine quelconque, on doit en trouver une autre; si l’on opère sur celle-ci comme sur la première on en trouve une troisième, et ainsi de suite, jusqu’à ce que l’on retombe sur une racine déjà obtenue. Un groupe de racines, par exemple trois, sera donc lié par des équations telles que

Li ble) (4) Le — Ü(x3), X3 = 0(x);

si l’on désigne alors 0[0(æx)] par (x), etc., ces équations donnent

cette équation ne saurait être identique si l’on suppose à 0 la forme entière, ce qui est possible (26), et si l’on exclut le cas où 0 serait linéaire; cette équation x — @(x) = 0 à une racine æ, commune avec f(æ) — 0, elle admet donc toutes les racines de cette équation. Si en dehors des racines æ,, æ», æ3 on prend une racine +,, celle-ci doit donc former un groupe avec deux autres racines; dans ce groupe il ne peut entrer plus de trois racines, car l’équation x, =@%(x,) montre qu'après avoir effectué trois fois l’opération © on doit retrouver æ,3; il ne peut pas entrer moins de trois racines dans le groupe, car si l’on avait x,= @(x,) on aurait aussi æ,— 0 (x) et le premier groupe ne contiendrait que deux racines. La même racine ne peut entrer dans deux groupes différents, car si le second groupe contenait æ,, æ; et æ, on aurait

CÉEDEr, OUEN

etz; —x;, Ce qui est absurde, l'équation proposée n'ayant pas de racines égales.

On voit ainsi que les racines se partagent en groupes contenant le même nombre de racines, et si n est premier, il n’y aura qu'un groupe. Si nr est un nombre composé il doit être divisible par le nombre des racines de chaque groupe.

St, par exemple, on a m groupes de p racines, n = mp. L'équation peut alors se résoudre à l’aide d’une équation de degré p dont les coefficients dépendent d’une équation de degré m.

Si, pour plus de simplicité, nous supposons p toujours égal à 3, on peut poser

(6) Vi= Li+ Lo+ da = 02(x3) + 0(X3) + rs, si l’on remplace x, par toutes les racines de l’équation pro-

posée, on obtiendra 5m valeurs pour y.

Ces valeurs sont égales trois à trois; ainsi

02(%2) + 0(%2) + La = L3 + Xi +, 62(x1) = 0(x1) += Lo + La E X1, y n’a ainsi que 2 valeurs et sera fourni par une équation de

degré m à coefficients rationnels, que l’on obtiendra par la théorie des fonctions symétriques ou en éliminant x entre

(7) J{x)=0 et y=x+0(x) +02(x); la résultante (8) o(Y)= 0

du degré m a pour racines

M = li + Lo + T3,

Jm= Lim—2 + Lam—1 + Lam ; dans le cas où ces racines sont inégales, on peut trouver la forme générale d’un diviseur du 5° degré de f(x)

D —T pa? + Wi(Yp)t + Wa(Yp)); si l’on remplace y, successivement par Yÿ1, Yo .-., Yms ON

obtient les m facteurs du 5° degré de f(x); de telle sorte que l’équation donnée du degré 3 est réduite aux équations

(AA On) Er) 0

Lo? PO EI 0S

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 127

la première est du troisième degré et la seconde du mième degré. Les mêmes considérations sont applicables au cas où le groupe contiendrait, au lieu de trois, un nombre quelconque de racines.

L'équation o(y)—o ne donne pas lieu à l’examen de cas particuliers : elle peut être quelconque; l’autre est encore une équation abélienne, car ses racines forment encore un croupe doué des propriétés considérées plus haut. Nous verrons plus loin qu’elle est toujours résoluble algébriquement.

78. 0(y)—0o peut avoir des racines égales; alors on peut partir de la fonction

Gr) = (as) (aire) (a — 22) = [a — 02 (273)] [a — 0 (5)] (a — 19),

où « peut être choisi de telle sorte que deux valeurs de y; ne puissent être égales. Si l’on avait, en effet, pour toute valeur de &, y, — y: par exemple, ou

(a— r)(a—x2)(a—xs)=(a— x) (a — x3)(a —%6),

les trois racines du premier groupe seraient égales à celles du second, et l'équation donnée serait réductible.

Le résultat de cette discussion est donc que ;

Si p des racines d’une équation irréductible peuvent se TLELLTESOUSION ONE LIA0 (T1), OU TI); ,0PEi (Tr), où 0 est tel que 0P(x;)—= x;, cette équation est de degré mp et elle peut, à l’aide d’une équation de degré m, être réduite à une autre de degré p.

Équations abéliennes dont les racines forment un groupe.