ACIER TE

Désignons par & une racine quelconque de

(4) ZX? —1;

l'expression

(5) Tri) = [ri (ri) +a02(x1) +...+ar-107—1(x,)]r7,

où « est considéré comme connu, n’a qu’une seule valeur et, par suite, peut s'exprimer rationnellement en fonction des coefficients de l'équation donnée des coefficients de 0et de «.

Si l’on prend, au lieu de z,, une autre racine, par exemple Ds 000), OLA

W'(xs) = [02(21) + a03(21) + a0*(xi) +...+ar-10(x1)]7,

où la quantité entre crochets se déduit de celle qui est analogue dans (5) en la multipliant par æ«*-?., Comme &«"— 1, les deux expressions de V(x,) et de W(x;) sont égales. On voit ainsi que

(6) Pr) = W(xr) =...= W(xn).

On peut poser

(7) Pa) = 2 LUC) + Pas) ++ V'(a)]

et calculer Ÿ comme une fonction symétrique. Elle contient a et, par suite, possède une valeur pour chaque valeur de «.

Si l’on appelle v, la valeur de Ÿ qui correspond à la valeur a, de «, on obtient x équations de la forme

(8) x +a,0(x) + a202(x)+...+at-10-1(x) = Wo,.

La valeur correspondant à «,—1 de Vo, est connue, car on connaît la somme des racines, elle est — À, si A est le coefficient de x*-1, Si l’on ajoute les x équations (8), et si l’on

observe que Zal=10;

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 129

pour toutes les valeurs de p non divisibles par x, on trouve, en supposant æ—1,

£, — A + Voi+ Vos+.+ Von

(9) de

Si l’on multiplie chaque équation par &,;”* avant de les ajouter, tous les termes du premier membre s’annulent, excepté ÿm(x), et l’on obtient une quelconque des racines par la formule

D En LMI —m À Aa" Voit as" Vos... + an Von ñn

(Go) Om(x) = —

Dans cette expression, on peut prendre un des radicaux, avec une quelconque de ses valeurs, mais alors les valeurs des autres doivent s’en déduire. Par exemple si, dans l’expression de v,, « désigne une racine primitive de l'unité, les autres valeurs de « seront ses puissances &,— œ&?, et l’on à

11) Voi=x+aû(x) +a202(x) +...+an-10n—1(x), CE

| Vu — x + aPÜ(x)+ a2P02(x)+...+ at-QpGr-1(x); si l’on change, dans ces deux équations, x en 0”(x), la première se trouve multipliée par «-”, la seconde par «-?”, Le produit

(12) p(x) 2 T7 me n v, se trouve alors multiplié par a—m{(n—p)g- mp — g—mn — L il se trouve donc inaltéré quand on y permute deux valeurs de æ; o(æ) est donc une fonction rationnelle qui peut être

calculée comme plus haut W(x). Si l’on désigne sa valeur par &p, ON à

IE «a = (15) op = PE (Vu)?

Tous les radicaux qui entrent dans la valeur de x peuvent

donc s'exprimer rationnellement en fonction de l’un d’entre lé 9

eux ; si l’on remplace ces radicaux par leurs valeurs dans (9), on obtient pour + une expression qui n’a que zx valeurs Correspondant aux valeurs de Vus. « entre dans le résultat, et nous verrons plus loin qu’on peut l’exprimer algébriquement. On voit ainsi qu’une équation dont les racines peuvent étre représentées PAT; DC AMEN re 0e), 100 On(æ)— x, est résoluble algébriquement.

Comme cela a toujours lieu quand z est premier, dès qu’une racine est fonction rationnelle d’une autre, une équation de degré premier dont une racine est fonction rationnelle d’une autre, et qui est irréductible, est résoluble algébriquement.

Dans le cas où les fonctions f et 0 sont à coefficients réels, a sera la seule imaginaire contenue dans v, et, comme les valeurs de « sont conjuguées deux à deux, à savoir œf et œ?—#, il doit en être de même pour les valeurs de v ; ainsi

(14) U, — p(C0Sw +—:sinw),

[4 PE Un—1 = P(COSwW —zsinw),