OÙ

(15) p? — DID ARE:

EVTE r Comme ani = Yo Vo» quand on échange «& et æ«*-1 reste inaltéré et ne contient d'autre imaginaire que «, il doit être réel. On à donc

2 —- - 2DT + W . . PT + (16) Vo = Va (cos 22e +isin 22),

où a désigne la valeur numérique de @,-,; il en résulte

— 0 ay k(2pTr+w) .. K(2pPT+w (170 AY = Var [eos — Le Rs .

De sorte que les racines ne dépendent que de quantités rationnelles, d’une racine carrée, du sinus et du cosinus de la nième partie de la circonférence, et de la même partie d’un angle w dont la tangente est fonction rationnelle du sinus et du cosinus de ce même angle w.

Comme © est réel, on voit immédiatement que les racines

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 131

sont toutes réelles ou toutes imaginaires, car si l’une est réelle, les autres le sont aussi.

Examen du‘cas où le degré de l'équation n’est pas un nombre premier.

80. La méthode que nous avons fait connaître pour la résolution des équations abéliennes dont les racines forment un groupe, est tout à fait générale ; mais, quand le degré n’est pas un nombre premier, la solution peut être simplifiée.

Soit 2— pm; on peut répartir les racines en groupes de p racines, à savoir :

de Gras Cr NU PEU CR) A(T 2m+1 (p—0 mH( y (1) MCE NUL ES CEE EE ORALE (pe RP TR LUE Ve CU PEN RU NU einer è Q—1(%x), 62m—1(x), Dee Gpm—1(x),

et l’on pose alors (2) Om(x) = (x),

les racines placées sur la première ligne seront

(3) z, Bitx), 02(x), ..., 08-1(x), ou (4) DP(x) = 0mP(x) = à.

On peut donc, d’après ce que l’on a vu (77), réduire l’équation, à l’aide d’une équation de degré m, à une autre de deoré p. L’équation de degré p à la même propriété que la proposée; cela n’a pas lieu pour l'équation de degré m» dans le cas traité (77) et (78). Mais on peut montrer que, ici, où toutes les racines forment un groupe, les deux équations auxquelles se réduisent la proposée jouissent de la même propriété.

L'équation du degré »7 en y est constituée de telle sorte que l’une de ses racines est fonction symétrique des p racines

du premier groupe; les autres dépendent de la même façon des racines des autres groupes.

Soit maintenant y, la racine qui peut s'exprimer au moyen de

(5) Th Om(x), O2m(x), ARE O(p—1) m(x), soit y, celle qui peut s’exprimer au moyen de (6) O(x), Qrr+1 En Fe G(p—1) m+1 Gi

les coefficients de l’équation qui a pour racines les quantités (>) sont fonctions rationnelles de Y,, et toutes les fonctions symétriques des racines peuvent s'exprimer rationnellement en y; y2 est une fonction symétrique de

et, par conséquent, aussi des racines (5); y: peut donc s’exprimer rationnellement en y,, de sorte que l'équation en y jouit de la même propriété que la proposée.

Si »m et p sont des nombres composés, on peut continuer de la même facon, et toute équation abélienne dont les racines forment un groupe peut étre ramenée à des équations abéliennes de degré premier.

Sur les équations irréductibles dont deux racines sont liées par la relation

(1) TiLo + AL FOX + C—Oo.

81. Nous supposerons que à, b et c sont des fonctions rationnelles de quantités dont les coefficients de l’équation sont eux-mêmes des fonctions rationnelles. Si l’on change dans l’équation x en æ +, h étant déterminé par l’équation

(2) R+ (a+b)h+c—o, deux racines seront liées par la relation

(3) Lie + (h+ a)xi+ (A + Db)xe = 0;

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 133

« Jo . I . e si l’on change ensuite + en =’ on obtient entre deux racines

la nouvelle relation

(4) 1+(h+a)xo+(h + b)x; = 0; si enfin on change x en æ + L, ou

(5) (2h+b+a)hi+1=o,

on obtient une équation dans laquelle deux racines sont liées par la relation

(6) Li 0 La: où q—=— ne .

Maintenant supposons que l’équation donnée continue à être irréductible, même lorsque l’on regarde À comme une quantité connue, bien qu'il soit donné par une équation du second degré, quantité pouvant être utilisée dans la décomposition en facteurs; dans ce cas, l'équation finale doit être considérée comme irréductible; car, si elle pouvait se décomposer en plusieurs autres, il suffirait, pour décomposer l’équation primitive, de revenir aux inconnues primitives. Un groupe de racines sera donné par les relations

(7) Ville, Lo = AT3, aies Tp = ATX1,

qui montrent que « est racine primitive de

(8) ap — 1.

De

Ra (9) Re D:

on tire (10) RMI Ut.

“ 1 ÉETPAES

et alors, en remplaçant 2 par cette valeur dans (2), on a (11) a2(ab—c)+(a?+ b— 2c)a + ab — © — 0.

L'une des racines de cette équation est l’imaginaire conju-

œuée de &, car le produit des racines est un; soient

COS + £Sinv et COSÙ — :SInv

ces racines; on a

a+ b2— 00 Cat 0)

2COSDE= = ————— 2 Cab tab à ou 4 — D) FRE VAE FT (12) c = ab + (UE 51e h = — = À / tang À D 4 9 HT 2 ; HOUSSE ! D

où | est premier avec p, puisque « est une racine primitive. On voit qu’un groupe de p racines de l’équation transformée peut être exprimé au moyen de l’une d’entre elles; si l’on désigne par y, cette racine, les p racines sont données par l’équation DA NE 0!

et s’il y a » semblables groupes, on pourra mettre l’équation transformée sous la forme

(13) (xP=—yi)(xP— 75)... (tP—ym)=0;

Vis Vs... Yn peuvent ainsi être considérés comme racines d’une équation quelconque du degré mn. Soit

(14) fy)=0

cette équation, l'équation en x sera

(15) f(xP) = 0,

et l'équation proposée doit être telle qu’on puisse la ramener à cette forme au moyen des transformations dont il a été question; on voit que p peut être supposé premier, sans diminuer la généralité de la solution.

82. Les équations, qui ont la forme générale que nous avons considérée, supposent que « puisse entrer dans la rela-

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 139

tion (1). Si cette relation ne contient que des quantités rationnelles, , FT CUS P doit être rationnel et le nombre premier p doit être égal à 2 OU, Si p = 2, la valeur de c est illusoire ; dans ce cas

Ah 0 A —=—I—=— ;-—