LL

cette équation reste inaltérée quand on change æ en —

Pre on à alors

L1Le+ Li +1—=0; ainsi

ee y = :

Li 1 DENO.

l'équation réduite est

IVe

83. Nous avons supposé que l'équation donnée reste irréductible quand la racine carrée qui entre dans À est censée connue; soit # cette racine, il peut arriver que l'équation se décompose en deux autres

A2 £B—= 0 et

À — KB — O, et alors il est clair que dans ce cas la relation (1) détermine æ3 Comme racine d’une de ces deux équations quand >, est pris pour une autre racine.

L'équation transformée se laisse décomposer aussi en deux

autres et chacune des racines de celles-ci x; est déterminée en fonction d’une autre racine +, au moyen d’une relation de

la forme Lk— AL;

on arrive donc à la même détermination de « que dans le cas général, de sorte que l’on peut énoncer le théorème suivan :

Si deux racines d’une équation irréductible du nè"e degré sont liées par la relation (1), l’équation peut être résolue au moyen d’une équation du second degré à l’aide d’une équa-

. , \ S lion de degré ma dans le cas où a — b; dans le cas contraire,

on peut la ramener à une équation du troisième degré, à

; : k ; n l’aide d’une équation de degré 3) dans ce dernier cas on doit

avoir Cc— 4 — ab +0?

84. Lorsque deux racines d’une équation irréductible, développées en fraction continue, finissent par avoir les mêmes quotients complets, l'équation appartient à la classe d’équations que nous venons d'étudier. Si le quotient complet commun est désigné par g on a

d + d: q __f+ PH Pa Te

(25) TER N? LA C—+—€e1q Mo 2 qi

l di ;

= et — étant les dernières réduites de x, et L, fi étant les ei £'

dernières réduites de x, que l’on obtient quand on fait usage

des parties différentes des fractions continues. Si l’on éli-

minegona

(26) (eg1—gei)tito+ (ef — ef1)21 + (dig — dgs)x2+ df— df= 0;

on a identiquement

(27) (a f— ef) (dig — dg1) + (de; — ed )(fg1 — gi) ? = (eg —ge)(dfi—fdi),

où, comme l’on sait, de; — de; = +1,

fai fi Ex

POUPEE 70e D) 6 SE LIODOSE

eg — Lei = À, af — Efi= lg —gid—=a,

(27) donne

où À est un diviseur de a? Æ 1; la forme générale d’une équation aux racines +, et x, est donc