LP LYS

où «a désigne un entier quelconque, À un diviseur de a 1

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 139

et y une racine d’une équation arbitraire. Pour p = 3 en posant

ef — fe: = À, d\g 404 d == b, et dfi — fd; = C,

[e) (25) donne DEV ENAC et l’on à (18)

Àc = a? — ab + b?; il en résulte (b— a} =—Er,

de sorte que l’on doit faire usage du signe +; on à donc

tot atat+i

La forme la plus générale d’une équation du troisième degré aux racines x, et x, est donc

LE PL As LH A3 = 0,

(30) DOEERT 3(@E a+), ÉLRETR ele 52 ?

\ VE (et hr : (2aE1)(@Ea+i1) A3 — DT = F ET 13 F7}:

a est un entier arbitraire et À un diviseur de a ta+ir.

Résolution algébrique des équations binomes.

85. On a montré que la résolution de l’équation binome se ramenait à la résolution d'équations de la forme (1) TP 1 = 0,

où p désigne un nombre premier; les racines de cette équation ont été mises sous forme trigonométrique, et nous allons montrer maintenant comment on peut les mettre sous forme

algébrique. La somme de deux racines de l’équation (1) étant r « 2'T Q r A 4 égale à 2co0s ci la circonférence pourra être partagée en

p parties égales au moyen de larègle et du compas, si l’équation en question peut être résolue au moyen seulement de racines carrées.

Si l’on divise par x — 1, on obtient l'équation irréductible

(2) GPTL PRES ETAT el 0,

Les racines de cette équation peuvent être représentées au moyen de l’une d'elles « par les expressions

(3) LARG SRE PRET UNS

où 7 est une racine primitive de la congruence

= Sy

DD LERTETO (mod p),

c'est-à-dire un nombre tel que r*— 1 ne peut être divisible par p pour À < p — 1. Il est facile de voir que tous les termes de la suite (2) sont différents.

Soit 6 une racine arbitraire (1 excepté) de

LCDEREET 0 Nous aurons à considérer dans la suite le produit de

Vi=apar + pra +... pra

(16) par

| Vo= a+ Bla" + B—2a +, , + BD ar:

les termes en B” sont Br (œr"+1 2 Pr) 2 gr UP) D “RE STAY

Si l’on pose &, + æ&" 1, «, sera racine de (1) et l’on aur

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 141 pour expression de la quantité entre parenthèses Mai ai +... + a?

Si &, n’est pas égal à r, ceci représente la somme des racines de l’équation (2), c’est-à-dire — r. Si, au contraire, t—1, Cette somme est égale à p —1; c’est ce qui à lieu si

rr+i= 0(mod p),

d’où l’on tire

le produit cherché sera alors

L G “APR PAT ges g.) CHE DE,

et comme 1+R+R2+...+fr-2— 0, on aura p —1 (7) ViV2=pl ? —==Æp, p—1

CAD LI eStésal a rou a er Dans le premier cas, on peut réunir dans les deux facteurs

Pond ; rangs ;

V,et V, les termes éloignés l’un de l’autre de

deux semblables termes sont

Bear et 6 2 ar 4 2 — Gr Ce

p divisant r ? +1, p divise

DD p—1 N ( 2 Ne 2 +1)

et ne divise pas le premier facteur; la somme de nos deux

termes est alors SO er),

ou si, par exemple,

et si l’on pose

on à SD DECOSrEO;

Si l’on désigne alors par y une racine de

p—1 8 AS (6) x —I1—=0,

et si l’on fait p = 2u +1, on aura

(9) 4ViVi= p,

où Vie COS VC OST GREEN PE Y HE MGOS TEL, Va= cosa + y-1cosra+...+ y ut cosrb la.

86. Si l’on pose HP 0), les racines de l’équation donnée (2) pourront se mettre sous

la forme LPO CT) CT ECC OP ETS

où OP—l(x)—x; cette équation appartient donc à la classe des équations étudiées (79), et les racines sont des sommes de termes de la forme

"Ve,

v désignant une fonction rationnelle des coefficients et de £. « peut donc s'exprimer au moyen de radicaux, si la même chose a lieu pour 6; comme le calcul de 6 dépend à son tour de la résolution d'équations binomes dont les degrés sont des nombres premiers inférieurs à p, on finit, par des réductions successives, par tomber sur des équations que l’on peut ré-

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 143

soudre et, par suite, la proposée est résoluble au moyen de radicaux. | Les termes de & sont conjugués deux à deux; par exemple

sont conjugués, etc. Ces deux radicaux sont V, et V, dont le produit est Ep. Leur module est |/p. Les arguments s’obtiennent en divisant, par les facteurs premiers de p — 1, un angle que l’on peut construire. Si le nombre premier p est de la forme

p — 1 ne contiendra pas d’autres facteurs premiers que 2, on pourra donc, dans ce cas, partager la circonférence en p parttes égales, au moyen de cercles et de lignes droites, car on n'aura à construire que des expressions rationnelles, à partager des angles en deux parties égales et à construire la racine carrée de p.

87. Au lieu de traiter comme nous l’avons fait l’équation donnée, on peut la traiter comme une équation réciproque et la réduire à une autre de degré x, celle-ci conserve le caractère d’équation abélienne. En effet, ses racines étant des sommes de racines conjuguées de l'équation binome sont de la forme