Æ = 2 COS

OU AE 1 RTL 0.

L'équation (2) étant du degré 2° pourra être résolue par la méthode développée (80), à l’aide de trois équations du second degré; mais nous préférons faire usage de l’équation primitive du 16° degré.

La plus petite racine primitive de zx'f= 1 (mod. 17) est 3; on prendra alors 7 — 3, et les racines seront

re a + a +ali+gii+a-t+as + g-138—+ a-15,

[yo = a+ al0 ù 5 SEGA LEUR 7 5) + ait,

alors on a Niels

Le produit y,y, est rationnel, car si l’on échange « avec une autre racine il ne change pas de valeur; car si l’on échange &

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. 149

avec une racine du même groupe y, et y, ne changent pas; si l’on échange « avec une racine d’un autre groupe y, et y; s’échangent entre eux. Comme le produit de deux racines est encore une racine, Yy:72 est la somme de 64 racines parmi lesquelles ne se trouve pas l’unité, deux racines con- Juguées se trouvant dans le même groupe; comme le produit est symétrique chaque racine y entre quatre fois. Enfin, comme la somme des racines est — r, on à

Y192=— 4, el y. et y, sont racines de

Maintenant posons

(6) ( a +ali+ og -1+E a 18 — 7;;: A LA Ha HAS — 33 | 9 + 015 + a 9 + g—15 — 79: œ10 + œil + g—10 + œil = 24,

on aura

(7) Z1—+ 2% = 1; 23 +23, = Yo.

L'équation qui a pour racines les 8 termes de y, est du huitième degré; l’un de ses coefficients est — y, et les autres sont fonctions rationnelles de celui-ci. z, 3, doit donc pouvoir s'exprimer rationnellement en Yy,, car il n’est pas altéré quand on échange les racines contenues dans y,; le produit en question à 16 termes qui sont tous racines; parmi ceux-ci se trouve «!° qui appartient à y, et & qui appartient à y;; les autres termes de y, et y, doivent donc se trouver aussi parmi les 16 termes en question; on a donc

Hé en) ],

et, en remplaçant & par &ÿ,

les z sont donc racines de

(8) Z22—Yÿ132—1—=0 et 3?— ÿ23 —1=0O.

Si l’on pose enfin ee ra li , a13 + HR Lo,

UNS = y; lila = 33,

comme £, est rationnel en y, et z,, il doit en être de même de z;, et l’on a, en effet,

2? = 22 +223 +4 ou 223 —= 2? +71 —Y1— 4; t, et €, sont donc racines de (9) LP — 3l+ 3 = O0.

On peut donner six expressions analogues à celles qui sont données pour £, et 4. Ces huit valeurs sont racines de l’équation réciproque du huitième degré à laquelle se ramène la proposée ; ces valeurs sont

2C0S& ; 2060824; mA 2C0S84,

où «= —:

Le côté du polygone de 34 côtés inscrit dans le cercle de rayon I à pour expression