OC

Forme des racines.

91. Soit x, une racine d’une équation irréductible donnée que nous supposerons résoluble au moyen d'expressions rationnelles et de racines carrées; lorsque nous dirons qu’une expression contient » racines carrées, il faudra sous-entendre que ces racines sont distinctes ; nous dirons qu’une expression qui ne contient que des racines carrées d’expressions rationnelles est une expression du premier ordre; une expression qui contiendra des racines carrées d’expressions du premier ordre seulement sera du second ordre et ainsi de suite.

Si les radicaux qui entrent dans x, sont liés entre eux par une équation du premier degré à coefficients rationnels, on en profitera pour réduire le nombre des radicaux contenus dans #,. Lorsque x, sera ainsi ramené à contenir le plus petit nombre possible de radicaux, on fera évanouir les radicaux qui entreront en dénominateurs; on n’introduira pas, par cette opération, de nouveaux radicaux, cette opération se faisant par de simples multiplications qui peuvent se faire de facon qu’on n’introduise pas de nouveaux radicaux. Alors les radicaux n’entrent dans +, qu'avec l’exposant 1; car une puissance paire d’un radical est une expression radicale d’un ordre moins élevé; il en résulte aussi que toute fonction rationnelle d’un radical entrant dans x, peut s'exprimer en fonction rationnelle du premier degré par rapportàce radical.

Si l'on change les signes des radicaux qui entrent dans

l'expression de x, de toutes les manières possibles, +, prendra de nouvelles valeurs +, æ;, ..., æy et, Si +, contient p radicaux, +, prendra 2? valeurs; mais ces 2? valeurs ne sont pas toujours distinctes ; c’est ainsi que

Va + Vo + Va — vb

ne change pas quand on change le signe de V6. Si æ, est racine d’une équation trréductible

Lay Lys -.., Æy SOnt racines de la même équation.

En effet, remplacçcons x par +, dans f(æ):commeil n’existe pas de relations entre les radicaux qui entrent dans x,, les coefficients des radicaux qui entreront dans l’équation ainsi obtenue devront être nuls. Les équations qui en résultent et qui expriment que +, est racine, à leur tour contiendront des radicaux dont les coefficients devront être nuls et ainsi de suite; on arrive de la sorte à des équations qui ne contiennent plus que des quantités rationnelles, qui ne dépendront pas des signes des radicaux qui entraient dans +, et qui seront satisfaits, quels que soient ces signes. Si donc l’équation (1) admet pour racine +,, elle admettra aussi pour racines æ,,4,, ..., Ty.

Maintenant on peut poser

Li — À! Se B Ve,

où Ve est un radical qui n'entre pas sous un autre signe radical; ÿc n’entre pas alors dans l’expression de À ou de B, qui peuvent contenir d’autres radicaux; posons alors

XZa= ÀA—BVÿc; le produit

ne contiendra pas Ve si l’on forme des produits analogues pour toutes les autres racines en changeant les signes des radicaux se trouvant en A et B ; on obtient l'expression

(T— 1) (tr — ta), PQ (TZ —xy)

transformée en un produit de 2?—t facteurs du second degré, qui se déduisent de l’un d'eux, en changeant les signes les radicaux de toutes les manières possibles. Deux de ces facteurs sont de la forme

xt + (A+ B: Volr PAS B> Ver.

X? + (A; — B; Vce)x she A2 — B> Ve.

et leur produit du quatrième degré dont le premier terme est æ* ne contient pas Vc,. Si l’on traite ces facteurs du quatrième degré d’une facon analogue et si l’on continue ainsi de suite, on finit par trouver une équation du degré 2P à coefficients rationnels admettant les racines æ,, æ:, ..., æy. Si elle est irréductible, elle doit se confondre avec l’équation donnée; mais il peut arriver que plusieurs valeurs de x soient égales, en sorte que l’équation obtenue soit réductible. Dans ce cas elle admettra un même nombre de fois toutes les racines de f(æ) —o; sans quoi, en divisant par une puissance convenable de f(x), on pourrait obtenir une équation admettant une partie seulement des racines de f(æ)—=0o; le degré de l’équation donnée doit donc être un diviseur de 2°. Donc

Une équation trréductible qui peut étre résolue au moyen d’extractions de racines carrées doit étre d’un degré égal à une puissance de 2 et ses racines ne diffèrent les unes des autres que par les signes des radicaux.

92. Une racine d’une équation irréductible de degré 2? qui peut être résolue à l’aide de racines carrées peut s’exprtmer au moyen de p radicaux.

Si dans l’équation

(1) le — 0

FSI | à :

on remplace æ par > Si l’on chasse les dénominateurs et si

l’on cherche par les méthodes connues le plus grand commun diviseur des premiers membres des deux équations, on

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A L'AIDE DE RACINES CARRÉES. 193 obtient un reste du premier degré Mx + N et le dernier diviseur peut être représenté par Ax?+Bxr+cC,

M, N, A, B, C désignant des fonctions entières de Æ et des quantités connues. Soient æ, et x, deux racines de l’équation (1) : si l’on fait {= x,x:, x, et x, seront des racines communes aux deux équations et l’on aura

Pt tt

PE le A A

La forme la plus générale d’un facteur du second degré de f(x) en fonction du produit de deux racines est donc

o désignant une fonction rationnelle.

Quand k sera connu, les deux racines seront ainsi données par une équation du second degré, c’est-à-dire que leur expression contiendra un radical de plus que celle de #.

k, étant un produit de deux racines, sera déterminé par une équation de degré

"2P(2P— 7; HS — 2P—1(2P — 1).

Comme Æ peut s'exprimer au moyen de racines carrées, l'équation en « devra pouvoir se décomposer en d’autres dont les degrés seront des puissances de 2. Ces équations ne peuvent être toutes de degré 2? ou de degré plus élevé, car une somme de pareilles puissances serait divisible par 2?, ce qui n’a pas lieu avec le degré de l’équation déterminant £:le degré de l’une de ces équations doit donc être au plus égal AP.

L'équation de degré 2? pourra donc se résoudre au moyen de p racines carrées si celle du degré 2?! peut se résoudre au moyen de z — 1 racines carrées.Mais l'équation du second degré peutse résoudre au moyen d’une racine carrée; le théo-

rème se trouve donc démontré. Cependant, il existe un cas qui demande à être examiné de plus près, à savoir celui dans le-

queli/(t)'et# (2) ont un facteur commun de degré supérieur

à deux. Cela ne peut arriver que si l’on a, pour des valeurs de p et q différentes de r et 2,

D Des

on aura alors Li La = LpLq

et si l’on remplace + par x +, Lp Lg + N(Lp+ La) +R = Lite + (ai + Le) +2;

cette formule ne peut avoir lieu quel que soit À; sans quai l'équation donnée aurait des racines égales, ce qui est impossible, puisqu'elle est irréductible.

Si donc la démonstration tombait en défaut, on pourrait toujours transformer l’équation de manière que le cas en question ne se présente pas. Comme la transformation n’altère pas le nombre des radicaux qui entrent dans les expressions des racines, le théorème est vrai dans tous les cas.

93. Si, comme plus haut, on associe les facteurs De NE La ET y,

deux par deux, les nouveaux facteurs du second degré deux par deux et ainsi de suite, on se débarrasse chaque fois d’un radical; quand il ne reste plus qu’un radical /æ, on obtient deux facteurs qui ne diffèrent l’un de l’autre que par le signe de; l'équation de degré 2? peut alors se ramener à une autre de degré 2?! dans laquelle les coefficients contiennent Væ et qui prendra la forme

TM + GAL + a AMI...

dre Va (ban biaxm-2+,, + bn) = 0

où »m — 2/7", et l’on peut toujours faire en sorte que le coef-

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A L'AIDE DE RACINES CARRÉES. 199 ficient de la plus haute puissance de x soit l’unité, sans que V+ entre en dénominateur. Si l'équation donnée est