FU) ES

il faut donc que l’on ait

HU) — (am + ai æ'—1 srovoe ta.) }?

— a(bixm-1+ boam2 +, , + b,,)2.

Væest le dernier radical que l’on fait disparaître dans x, c'est-à-dire le premier qu’il faut calculer quand on veut évaluer æ,3; si l’on a le choix entre plusieurs radicaux à calculer tout d’abord, f(x) peut être ramenée de plusieurs manières à la forme que nous venons de considérer. Par exemple, si

t=Va+vVb+VVa+ vb +k, on pourra ramener f(x) aux deux formes A2 — aB? ou A2— bB?,

où À est du quatrième degré et B du troisième.

Résolution de l'équation.

94. Pour abaisser l’équation donnée, on peut former l'équation qui à pour racines les valeurs de

(ei om 560 Von . —- Tm) (Er + Lm+2 ne . + À 7n he

Le degré g de cette équation est égal à la moitié du nombre de manières dont on peut prendre 2771 lettres sur 2? ou

2P | Dpt)?

S EE On peut montrer que ce nombre est impair; si l’on divise par 2 tous les facteurs pairs de 2?! on obtient tous les fac-

teurs de 2?-!!, Si donc «, u,, u, désignent des nombres impairs, On aura

Si l’on remplace successivement p par p — 1, p —2,. et si l’on multiplie les équations ainsi obtenues, il vient

DOM ETUTIUS le dénominateur de £# étant 2*-!u?u?..., ainsi o 1 2 ,

Ua...

ce qui est un nombre impair.

L’équation déduite de la proposée et que nous venons de considérer est résoluble par radicaux, si la proposée l’est, et elle doit se décomposer en équations dont les degrés sont des puissances de 2; or son degré est impair : donc l’une des équations dans lesquelles elle se décompose doit être du premier degré, de sorte que, parmi les valeurs que peut acquérir le produit que nous avons considéré, l’une est rationnelle; on peut la trouver dès que l’on a formé l’équation auxiliaire, car elle entre en facteur dans le dernier terme du premier membre de l’équation auxiliaire; comme on connaît en outre la somme des facteurs de ce produit, ceux-ci pourront se déterminer au moyen d’une équation du second degré à coefficients rationnels. On connaît donc la somme de 72 racines en fonction d’un radical carré et les autres fonctions symétriques de ces m racines peuvent s'exprimer rationnellement à l’aide de la somme trouvée et des quantités connues; l’équation qui détermine ces m2 racines a donc la forme

CE (a + D: Va jai En va Care Da Va)æm-2 +, pe reD Va NE

OÙ A4, 01, As ..., Am» Om Et à sont rationnels. Si l’on change + Va en — x, on obtient l'équation qui donne les m» autres racines.

Si l’on traite de même l'équation réduite, en regardant Va comme une quantité connue, on obtient une équation de degré 2°? dont les coefficients sont fonctions de Vx et d’un nouveau radical carré. Ici se présente une difficulté : la racine que l’on cherche et qui doit être considérée comme ration-

nelle est en réalité de la forme b + cV/« et doit être facteur d’une expression de la même forme, à savoir le dernier terme de l’équation; mais on peut tourner la difficulté en changeant æ en y +aV« et en décomposant l'équation en deux autres ayant pour racines b et c.

Condition pour qu'il soit possible de résoudre l'équation.

95. En suivant la marche que nous venons d'indiquer, il est toujours possible de résoudre une équation résoluble à l’aide de radicaux carrés. Mais en pratique il devient déjà très pénible de résoudre l’équation du huitième degré. On peut souvent simplifier les calculs en faisant usage du théorème suivant :

S'il est possible de réduire de moitié le degré de l’équation HDI OMeneEtroyanalarracirelcarreenderf(r)norneudor trouver un reste qui, multiplié par une puissance de 2, est divisible par «, Vx désignant la racine carrée à laquelle on est conduit en effectuant la réduction.

Supposons que l’équation soit (1) x?m+ Aja?m-li+,,,+ A, =0 et puisse être ramenée à la forme O) (at+a am 1e, + am) a(bian-ie bixm-2 + b, = 0; supposons que l’extraction de la racine carrée donne pour(1) (3) (am + Ram Roan2 + km) + Ry1 = 0,

R,,- étant, au plus, de degré m — 1; alors on a identiquement

Lan + (ai + ki) ml (aa + ka a+ am + km] (Ana X (a )a LE (as — R)rm 2 +... + am — Km] — a(Ü: æm—t1 + baxm-2 +, . Éne br } + etes

ÉbPréniecalantrléeCoetiCiemtSrdenr MATTER 07 AT OU

le reste est sans influence,

2(a— 1) — O, 2(43— la) + (a+ )(a— ki) = ab},

2(Ayn LD Ha) = (a ie Ki) (am: se Km—1) rat .. Co (m1 + km-1) (ai — k:) = aB.

aA et «B désignant des quantités divisibles par «x.

La première de ces équations montre que a —=K%,;; la seconde que a, — k,, abstraction faite du facteur 2, est divisible par &; la troisième que a; — #%; est divisible par «, et ainsi de suite; la dernière montre que a, — k, est encore divisible par &; æ& est donc facteur du premier membre de l'identité (4) et par suite de R,,1.

Si la racine contient plusieurs radicaux du premier ordre, chacun de ceux-ci peut être soumis à la même discussion que Væ, et tous les facteurs des quantités rationnelles «& doivent se trouver dans les termes de R,,,.

Considérons, par exemple, l'équation à laquelle on ramène æ&11 — 1 — 0, à savoir

fx) = 28 + 2 — 7 06 — Gr$ HI x HIORÎ—I1022— 4% +I1—0; l'extraction de la racine carrée donne DR m1 = —17,3228—17.8822— 17.92% — 17.1273; l'équation peut en réalité s’écrire

} I 9 3 3 Vi 7 9 LH — 28 — — x?+2x—1= -(X3+ x?— 9%).

Application à un problème de Géométrie.

96. Les équations que l’on peut résoudre par de simples extractions de racines carrées ont une importance toute particulière en Géométrie, car tout problème de Géométrie

résoluble au moyen de la règle et du compas doit conduire à une semblable équation. Toute construction de ce genre se ramène à ces problèmes élémentaires : faire passer une droite par deux points; décrire, d’un point donné comme centre, une circonférence de rayon donné; en répétant ces constructions, la Géométrie analytique permet de calculer les éléments inconnus en fonction de ceux qui sont donnés ; comme ces calculs ne conduisent jamais à des équations d’un degré plus élevé que le second, £{ faut que les éléments inconnus puissent se déduire des données par de simples extractions de racines carrées.

Il résulte de là qu'il est impossible de partager un angle en trois parties égales au moyen de la règle et du compas. On peut, en effet, se proposer de construire le cosinus de cet angle et, comme ce cosinus est racine d’une équation irréductible du troisième degré, il ne peut pas s'exprimer au moyen de racines carrées.

La plupart des constructions reviennent à la détermination d’un point qui lui-même se trouve déterminé par l’intersection de deux lieux géométriques. Si l’un d’eux est une droite dans une position quelconque et si l’autre est une courbe indépendante, on peut déterminer l’ordre de cette courbe si la construction du point peut se faire à l’aide de la règle et du compas. D’une manière moins générale, on peut avoir à déterminer la courbe lorsque la droite renferme un paramètre variable, par exemple quand elle doit passer par un point fixe.

97. Supposons que l’on se donne un faisceau de droites dont le sommet soit à l’origine des coordonnées et proposons-nous de érouver les courbes dont les intersections avec une droite quelconque du faisceau peuvent être déterminées à l’aide de la règle et du compas.

Nous supposerons que la courbe ne passe pas par l’orieine; prenons des coordonnées polaires et posons