HT HT

l'équation de la courbe prend la forme

(2) a+br+c?+...=o, où a n’est pas nul et où a, b, c, ... sont des fonctions homogènes des degrés o, 1, 2, ... demnet den.

Si le problème peut être résolu avec la règle et le compas, cette équation doit pouvoir se résoudre pour toute valeur de » et de nr; ilexiste sans doute entre mn et » une relation en sorte que leur rapport seul est arbitraire; mais on peut remplacer m et n par mk et nK, si l’on change en même temps

r en D et l’on peut, par cete raison, regarder m et » comme indépendants.

D'après nos hypothèses les constantes qui entrent dans l'équation de la courbe sont imdépendantes de #7 et de ». Il est facile de voir que l'équation (2) est irréductible si la courbe est indécomposable.

Si l’équation (2) est susceptible de se résoudre au moyen de racines carrées, elle devra pouvoir se ramener à la forme

(52 KA + Br + Cr, ...) = ki(Ai + Bar + Car?,...}?, où Æ et £, sont des fonctions entières homogènes de mn et n ; (3) n’est pas nécessairement identique à (2), car on peut avoir

supprimé un facteur par la division. En comparant les équalions, on voit que ce facteur est

"+? ou y—#kA’—HkA?;

car a est indépendant de » et x et on peut le supprimer sans changer la forme de nos équations. On peut supposer que Æ et Æ, n’ont pas de facteur commun, car on pourrait le faire disparaître par la division; on peut supposer en outre que © n’a pas de facteur commun avec # et k, ; car un facteur appartenant à © et à «, appartiendrait à A, B, C, ... et pourrait être supprimé par division sans changer la forme de l’équation. On peut mettre (3) sous la forme

[A VE + A1 -2(B VE + Bi Vh)r +...)

ÈQUATIONS RÉSOLUBLES A L'AIDE DE RACINES CARRÉES. 161

Si l’on multiplie le premier facteur par AV4— A, VX#,, le second par AV#4 + A,V#;,, on obtient la forme

Lo (M+NVE)r + (M+Nvkt)r+...] x [o+(M—NVE)r + (MN VAR )r+...] = 0

et le premier membre doit être divisible par o&°.

Nous allons montrer que chacun des facteurs est divisible par ©. Si l’on forme le produit des deux facteurs, chaque coefficient sera divisible par ©?; or, en développant, on a

p2+2pMr+..

et l’on voit que © doit être en facteur dans M. Si nm — œn est en facteur dans ©, m—an doit annuler un des deux facteurs, par exemple le premier; »m—an doit alors annuler M + NV#k, et, comme #4, n’a pas de facteur commun avec o, il doit annuler N. Maintenant, considérons dans le produit le coefficient de r?: en dehors des termes divisibles par e?, il n'entre que le terme 2M,c et nous voyons que M, doit être divisible par #; nous en concluons, comme plus haut, que N, est divisible par o; en continuant ainsi, on voit que tous les M et les N sont divisibles par +. Si l’on divise les deux facteurs par ©, on obtient l'équation (3) dégagée du facteur o et sans que sa forme soit modifiée; on peut donc supposer (2) et (3) identiques; alors on a ÆA°— £, A?— a, a étant indépendant de met n; a n’est pas nul et £ et À, ne peuvent être tous deux constants (sans quoi l’équation serait réductible); les coefficients doivênt être des fonctions homogènes de m et de », parce que l’équation reste inaltérée par la substitu-

: : fa tion qui remplace m, n, r par mh, nh, Fi et ne peut prendre

la forme (3) que d’un nombre fini de manières; si donc k, contient » et », À, doit être nul et Æ et À constants.

Si l’on pose £, = o dans (3), on détermine les valeurs de m et z pour lesquelles les points d’intersection d’une droite et de la courbe sont confondus deux à deux. La courbe doit donc étre une courbe d’ordre 2P telle que du sommet du