P. II

faisceau on puisse lui mener des sécantes dont les intersections coincident deux à deux et, comme A,—=o, k, doit être au moins du second degré en m et n; le sommet du faisceau doit donc être le point d’intersection de deux droites jouissant de cette propriété et, s’il est arbitraire, le problème ne sera possible que si une droite coupe la courbe en deux points seulement. Donc :

En dehors des coniques, il n'existe pas de courbe dont les intersections avec une droite arbitraire puissent se déterminer à l’aide de la règle et du compas.

Et le principe de dualité montre que, en dehors des coniques, il n'existe pas de courbe dont les tangentes menées par un point arbitraire puissent étre construites avec la règle et le compas.

Intersections d’un faisceau avec une courbe du quatrième ordre.

98. Nous allons considérer, en particulier, les courbes du quatrième ordre; leur équation doit être de la forme

(1) (A+Br+Cr}= kr?(Dr+Ey.

Si E n’est pas nul, Æ£ est du deuxième degré; si E est nul, # doit être du quatrième degré. Dans le premier cas, on parvient à une équation de la forme

(2) S?= À aÿy?,

où $ — 0 représente une conique quelconque, où À désigne une Constante, #y—0MUNeNIENCNdrOIe = 0 D ORUCUX droites du faisceau.

Dans le second cas, on a

Sa) «Ayo,

æ—0, B—0, y—0, d—0o sont alors des droites arbitraires du faisceau.

La première équation appartient à une courbe du quatrième ordre avec deux points doubles déterminés par S—=o et

7 = 0 et avec les tangentes doubles « — 0, 6 —o qui se coupent au point donné et dont les points de contact se trouvent avec les points doubles sur la conique S — 0.

La deuxième équation est celle d’une courbe du quatrième ordre avec quatre tangentes doubles qui se coupent au point donné et dont les huit points de contact sont sur la conique Sie

Nous n’examinerons pas le cas où le point donné se trouve sur la courbe et y est un point multiple d'ordre g, l’ordre de la courbe cherchée s’élevant de g unités. Nous montrerons seulement comment on peut construire les intersections des courbes de la première classe avec les droites du faisceau au moyen de deux coniques.

L’équation (1) peut s’écrire

(G— D ÿÆ}r2+(B—E ÿk)r + A = 0.

Les racines étant 7, et 7», posons

p1 ri T2

Si l’on change VÆ en — VX et 01 en P2, p1 etp, seront déterminés par l'équation

(B?— kE?)o?+ 4ABp + 4A2= 0,

qui est celle d’une conique; cette conique, pour Ê — 0, se transforme en une droite double

Bpo+2A—=o

qui est la polaire de l’origine par rapport à la conique $ — o.

Si E n’est pas nul, », et p, sont confondus pour £—=o et les tangentes doubles sont tangentes à la conique auxiliaire.

Comme les deux intersections fournies par la conique ne suffisent pas pour déterminer les quatre points d’intersection cherchés, nous ferons usage d’une seconde conique; on peut, par exemple, prendre celle dont les points d’intersection avec les droites du faisceau sont en division harmonique avec r, et