Différences d’une fonction. — Soit Uo, li, Ua

une suite de quantités déterminées d’une manière quelconque; si l’on pose

(1) Unit — Un = AUn,

Au, est ce que l’on appelle la première différence de w,; on construit d’une manière analogue la seconde, la troisième différence, etc. Ainsi

AUn+1 PES AIR —= A?Un,

lun — Mur = Mu, ete;

CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. 207 on en déduit

A?Un == Unit cu AUn = Un+9 — Un+1 — Unt1 + Un

= Un+2 — 2Un+1 + Ur,

Mur = A(Unr2— 2Un+1 + Un)

Un+3— 2Un+o + Un+1— Un+e + Qün+1 — Un

= Un+3 — IUn+s + SUnr1— Un;

comme on voit, les coefficients sont ceux des puissances de a — bet l’on a en général

PDP D

(3) APun = Unip — É Un+p1 + Un+p-2 ++ (—i)Pun, et l’on voit que les différences peuvent s'exprimer en fonction des termes de la suite &,, w,, .... Réciproquement, les termes de la suite peuvent s'exprimer à l’aide des différences.

On a, en effet, Ui = Up + Au;

d’où Au = Auo + Au; mais Us = Ui + Au, donc Ua = Ug + 2 AU + Au.

De même

Uz = U5 + AU = Up + 2440 + A?uo + Aug + 2 A2u0+ AU, = Up + 3 Auo + A23u0 + A3,

et l’on voit que les coefficients sont ceux des puissances de a + b. On à ainsi, en général,

) — 1) (4) de ELA e "e