Différences des fonctions entières. — Soit

(5) u= f(x) = aux + axt-1+...

une fonction entière de +, dans laquelle on donnera à æ successivement les valeurs

T0 Lo + À; Xo + 24; nee Xo+nh; soient Uo; U, Us, 0 Un les valeurs correspondantes de w.

On a alors

(6) Au=f(x+h)— f(x) = naar th +...

et il en résulte que Au est de degré inférieur d’une unité au degré de u; Â'u est de degré inférieur de deux unités et a pour.prémier terme r(r-1)ax m2 #etc.hilfenvrésulte que lorsqu'une fonction est de degré n, sa niè"e différence est constante et Anu—=n! ah".

Les différences d’ordre supérieur sont nulles. Une suite dont les différences d'ordre n sont constantes est une suite différentielle d'ordre n.

Exemple :

TEA eu LT EE Uo ui Up | U3 Uy, I 16 DID 020 Au Aus AU Aus 15 O7 000 A2uo A?uy AU DOME IOIAETOS Mu Au:

60 84 Au

Les formules (4) et (3) donnent

Us =1+ 5.15 +10.50 + 10.60 + 5.24 — 1296 — 6, Akuo—=1—4.16+6.81— 4.256 + 625 = 24.

127. Substitution de valeurs équidistantes de x dans f(x). —. Si l’on veut calculer f(x) pour des valeurs équidistantes de æ, on peut le faire pour » valeurs équidistantes de æ et obtenir les autres valeurs de f(x) au moyen de simples addilions.

Supposons, par exemple, que la fonction donnée soit u=x$— 5x + 6,

et que l’on désire en obtenir les valeurs pour z = r, 2, 3, .….; alors Six, —1, pour

Mie LD, RER u Au Au Au 4 TAC

Comme l’on sait, la dernière différence est 6. Pour A? x, le calcul peut se faire en observant que les différences de deux différences secondes est égale à 6 ; il suffira d’avoir une seule différence première pour avoir toutes les autres quand on connaîtra les différences secondes et, enfin, on aura toutes les valeurs de « dès que l’on aura l’une d'elles; il suffira donc d’avoir calculé trois valeurs de « et d’en déduire directement

deux valeurs de Au, puis une de A?u. On trouve ainsi, pour AT

puis, pour Au, puis, pour uw,

ainsi l’on trouve

flo) =6, f(4)= 50.

128. Calcul de f(x) au moyen de ses valeurs pour n +1 valeurs équidistantes de x. — Si l’on écrit la formule (4) P: 14

sous la forme

D —] Up = Uo + Eau PE sue. Ÿ

7) d PIRE RE RTE SRE a Er

et si l’on y fait

TL — ZX PE Er 1 PDT puis si l’on y suppose wo, Au,, Au,, ... remplacés par leurs valeurs déduites de u— f(x), on a | X— Xp Au TX — Lo)(x —Zzo—h) Au RE o AU ai o)( 0 ) Ho — 1 hi 107 /e2 (8) } k À | . (T—%o) (x —xo—h)...[x—xo—(n—1)A] Aru no RAC ha

Comme cette formule à lieu pour toutes les valeurs entières de p, elle aura lieu aussi pour

RE CT Tanl, T = Lo + 2h, me T = Lo + Ah.

Si l’on désigne le second membre par F(x), on aura donc f(x) =F(x)

pour #7 +1 valeurs de æ; comme cette équation est au plus de degré x, c’est une identité; on a donc exprimé f(x) au moyen de ses valeurs pour 7 +1 valeurs équidistantes de x, et cela sous une forme qui est souvent utile.

Exemple. — Trouver une fonction du troisième degré prenantiDour Tr, Den it Ur AUS valeur enr

et21. Ona 5 II 1 21

CALCUL DES RACINES DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES. QT donc

Fr) = 54 6(2—1)—2(2—1)(x—2)+ 2 (7—1)(2—2) (x — 8)

129. Znterpolation. — À l’aide du théorème précédent, on peut résoudre la question que nous nous étions proposée, à savoir de calculer des valeurs d’une fonction, pour des valeurs de æ comprises entre celles pour lesquelles le calcul a déjà été fait. Ordinairement, on partage À en parties égales; on pose, par exemple,