A1= —») DA —I

nn ÀAo = — d— F 1.2.10?2 : it D CA m(m—10)(m — 20 g As = ARENA dA3 — 0,028), 02 A3 = — 0,009,

Dans la fonction considérée plus haut, on avait

Hi = 0, Auo = 6, Au —=—4, A3u9 = 10; alors dP9o = 6.0,1+4.0,045 +10.0,0285 = 1,065 ER UAQR ACTE nr = Y ; F9 / 0209 —=—4.0,01—10.0,009 —=—0,13, 0PVD= 100,001 — 0:01

Les valeurs de Ia fonction pour DM LOUE LI, Aie L'—=V,9

sont fournies par le Tableau :

12 u. ou. ou. du.

1 0e Net 5,000 1,065 —0,13 0,01 ARR MTL G 6,065 0,939 —0 ,12 0,01 12e da 7,000 0,815 —0, II 0,01 RAR M CT. E 7,819 0,709 —0, 10 0,01 a LES à 10191020 0,605 -—0,09 0,01 Le 9,125 0/0 19 —0 ,08 0,01 PDT «+ 9,640 0,435 —0,07 0,01 RS © 10,079 0,365 —0,06 0,01 1 02e 7 100 410 0,305 —0,05

ISO RUN RE 10,745 ot)

PPT or 0 11,000

Si l’on prolonge ce Tableau par le haut, on trouve que la fonction s’annule pour une valeur de z comprise entre x = 0,6 CL —0;,7.

Méthode d'approximation de Newton.

130. Supposons qu’une racine de f(æ)— 0 soit séparée par deux nombres voisins a et b où a < b. Si l’on pose x — a, on a une erreur +, déterminée par l'équation

, . I f(a+xi)=o ou o= f(a)+f'(a)x1+ J'Ca)xf +; ComMINÉ Tiiestires petit elesttermestentr re CON DITES

petits en comparaison de ceux qui contiennent z,. Newton les néglige et pose

0 =f(a)+f'(a)x:, d’où n=- 0 d'où ee f(a) (1) DE ÉTES

On obtient ainsi une valeur approchée qui, en général, sera plus satisfaisante que la première; de celle-ci on en déduira une autre par le même procédé, et ainsi de suite.

Exemple :

Xi— 22% — 5 —0;

une racine est comprise entre 2et2,1,0na

on à HO EIO OO RRRL (20) —1170 2).

d’où

et de là on déduit encore f(2,0946) &

__fC,09%6) = 2,094551483.

131. Défaut de la méthode. — La méthode de Newton est d’une application assez simple, mais elle ne peut pas toujours être employée avec certitude, parce qu’il peut arriver que l'erreur, au lieu de s’atténuer, aille en grossissant. On s’en rend compte au moyen d'une représentation géométrique; on doit déterminer l'intersection de la courbe y — f(x) avec l’axe des æ. On a trouvé un point dans le voisinage du point

Fig. 10.

d’intersection, qui a pour abscisse a; la méthode de Newton revient à remplacer la courbe par sa tangente au point qui a pour abscisse a; cette tangente à, en effet, pour équation

et son intersection avec l’axe des x s’obtient en faisant y — 0; d'où

ce qui est la formule de Newton; on voit que le point où la tangente coupe l’axe des æz peut être plus éloigné du point cherché que le point d’où l’on est parti. Pour cette raison (Fourier, Housel, etc.), on a cherché à perfectionner la méthode de manière à approcher constamment de la racine cherchée. Pour arriver au but, il faut connaître une valeur approchée par excès et une valeur approchée par défaut. Ce qui suit va résulter des explications que nous venons de donner.

132. Nous supposerons l’équation débarrassée de ses racines multiples. Nous supposerons, en outre, que f(x) et f'(x) ne soient pas nuls en même temps. On peut alors supposer que les limites de la racine cherchée soient assez rapprochées pour que, entre ces limites, f'(x) et f(x) ne changent pas de signe. L’ordonnée de la courbe y— f(x) est alors, entre ces limites, toujours croissante ou toujours décroissante, et sa concavité est toujours tournée du même côté; comme f(x) change de signe dans l'intervalle, f(æ) et f(x) ont le m ême signe à l’une des limites; si l’on part de cette limite, la méthode de Newton fournira une valeur plus approchée, ainsi que l’on peut s’en assurer à l'inspection des quatre figures ci-dessous :

Figiern

Fig. 13.

Dans la première et dans la dernière figure, f(x) est positif, et l’on part de la limite pour laquelle f(x) est positif; dans les deux autres, f’(x) est négatif et l’on part dela limite pour laquelle f(æ) est négatif. Si l’on mène une sécante passant par les points correspondants aux deux limites, cette sécante coupe l’axe des æ en un point qui, avec le point où la tangente rencontre le même axe, fournit deux limites plus rapprochées entre lesquelles la racine se trouve comprise; la sécante à pour équation

b)—f(a LOSIOpA LR

«7 —f(a) = et elle donne (a) ot PRES Utile 0f(b)—f(a) HÉCA)E Em

ou HOMO NC es he. |

Si donc a et b sont deux limites telles que f(a) et f'(a) soient de même signe

. el fa) D = a — ——— f'(a)+ m sont deux nouvelles limites plus approchées.

Exemple. — Nous avons considéré l’équation

Xi— 9x — 5 —0, où OL) RAC 0 = 00

Une racine est séparée par les limites 2et2,1;0ona fe)=—1, - f(2,0 = 0,061 et f'(2,1) est positif.

bi=2,1— ——— —2,0942.

: k 10,61 ie Si l’on part de ces nouvelles limites, on trouve

Méthode de Lagrange.