TOO) T

En vertu d’un théorème de Cauchy, lorsque la série de convergente devient divergente, le rapport d’un terme au précédent passe par la valeur 1; ce rapport est

An

de sorte que

tend vers —; en faisant usage des deux An+1 l1

derniers coefficients calculés, on trouve

LRO 2:00 45 51 4815.

22 | Si l’on calcule encore un coefficient, celui-ci et le précédent fourniront une valeur de x qui a, avec celle que nous venons de trouver, dix décimales communes.

135. Cette méthode revient, au fond, à celle que Daniel Bernoulli à fait connaître; voici en quoi elle consiste : Calculons les fonctions symétriques des racines

= nm mn NT 1 Sm—= ZX; + Le + T3 RTE CET)

= L Ste Ci EÉPRN ETUDE Nr,

Si æ, est la plus grande racine, pour une grande valeur de mn, Sm et Sm+1 pourront être remplacées par leurs premiers termes et l’on aura

Sm+1 L1= ——+

Sn En faisant usage de s, ets{»11,, On peut de même trouver la plus petite racine.

Si l’on observe alors que $1 S2

ré (æ) = AN + En RÈGRRE MU ex ENTRER on voit que la méthode exposée plus haut coïncide avec celle de Bernoulli quand on prend xf'(x) pour numérateur. Cette remarque montre dans quel cas il sera avantageux d'employer la méthode. Pour que tous les termes que l’on

néglige soient petits par rapport à +”, il faut qu'il n’existe pas de racine ayant une valeur absolue voisine de celle de x,, ni de racine imaginaire dont le module diffère peu de celui de +,. Si deux racines imaginaires ont un module maximum, le rapport de deux sommes consécutives ne tendra vers aucune limite; si, par exemple, ces racines sont

r(cos0 +zsin0), on aura $m= 27" COSM0 +...,

Sm+1 = 2741 C0S(m+1)0 +..., N

et, en négligeant les termes d'ordre inférieur,

mn cos m0

m croissant indéfiniment, cette expression n’a pas de limite. L'emploi des séries entières conduit aux mêmes conclusions. Pour que l’on puisse appliquer la méthode avec succès, il faut que l’on puisse mettre l’équation sous une forme telle que les termes de l’échelle de relation aient le même signe et décroissent assez rapidement; la méthode pourra donc s'appliquer concurremment avec la méthode de Lagrange qui, en général, conduit rapidement à une équation transformée jouissant de la propriété requise.

136. Nous traiterons encore un exemple. L’équation Li—71X+7—=0

a deux racines comprises entre 1 et 2; si l’on pose

on obtient la transformée

Li —4Xi +3%1+1=0,

qui à une racine entre 1 et 2 et une autre entre 2 et 3; on devra traiter chacune à son tour; en considérant la seconde

on posera

L1=2 + —) Lo d'où l’on déduit LXi+ Xi —2%2—1—=0,

qui à une racine positive entre 1 et 2; on posera

Lo —=I+ —) T3 et l’on aura Xi — 3X$— 4X3—1—=0; la racine positive de cette équation est comprise entre 4 et 5.

Posons enfin

La = 4 + —) Ty on obtient la transformée TL — 20X? — YA, —1—=0; l'échelle de relation est 29, 9, I,

et, à l’aide de ces nombres, on forme les coefficients

Si l’on pose 3491078 ne 49107 ; [170921 On à M | F1 SE ‘ Ce ; 1 fa Ty.

HR) ou

137. Après la méthode de Bernoulli, il convient de mentionner celle de Gräffe. Elle consiste à poser x = Vy et à faire évanouir le radical; on obtient alors une équation dont les

racines sont les carrés des racines de la proposée; si l’on continue de la sorte en calculant les coefficients par logarithmes, si l’on finit par trouver une transformée dans laquelle les logarithmes des coefficients vont en doublant: c’est un signe que les racines sont négligeables vis-à-vis de la plus grande. Supposons, par exemple, que l’on aitélevé les racines à la trente-deuxième puissance et que l’on ait obtenu l’équation le te LE Et ie NN

Si l’on pose

Ne LE

Li dit (, 3232712 LL Li = > Ai)

en négligeant les termes d'ordre inférieur, on trouve les racines quand elles sont réelles, mais la présence des racines imaginaires complique la question comme dans la méthode de Bernoulli; aussi n’entrons-nous pas dans plus de détails.

Méthode de Horner.

138. La méthode de Horner s’appuie sur ce fait que, étant donnée une équation, on peut en déduire une autre dont les racines sont égales à celles de la proposée, diminuées d’une même quantité ; la méthode tire son importance de la manière même dont se fait la transformation, qui est assez simple.

Soit

FÉES l'équation donnée; pour diminuer les racines de &, on prend pour nouvelle inconnue x — « et l’on pose

On voit que f(x) est le reste de la division de f(x) par æ — «, que f'(«) est le reste obtenu en divisant le quotient

par æ— «, etc.; par des divisions successives par æ — &, on obtient les termes successifs de l’équation transformée.

Pour effectuer la division par æ — «, on peut faire usage de la méthode employée pour développer une fraction en série, l'échelle de relation est &; si le dividende est

ALT + Qi AL + GAL, An

et le quotient 0e

boxn—1 4 bixn-2 + baxn-3 +. our On-1 ni

on à by == Go, b— + ab, ba = a+ ab, …. bp= Ap+ api ..

On a l'habitude de disposer les calculs comme on va l’indiquer à propos des racines de l’équation

325 — 23 + 4Ax?+ 5x — 8 —0,

en diminuant les racines de deux unités; on a, en n’écrivant que les coefficients,

3 O —I +4 +5 —8 JE0 11 26 h 106 T2 8 96 249

DCI AI 238

l'équation transformée est ainsi 325 + 30X* + 11923 + 238 x? + 2492 + 106 = 0.

La multiplication par 2(&«) et l’addition ont été menées de front; si l’on avait affaire à des nombres composés d’un plus grand nombre de chiffres et qu’il fût impossible de faire les opérations de tête, il serait bon d'écrire le produit «b, audessous de &,,, et d'ajouter comme on l’a fait dans l’exemple que nous traitons un peu plus bas.

On fait usage de cette méthode pour trouver les chiffres de la racine successivement. Supposons, par exemple, la racine comprise entre 2 et 3; on diminuera les racines de deux

unités; on cherchera la première décimale de la racine : on réduit pour cela l’équation à ses deux derniers termes; si l’on trouve que cette décimale est 5, on diminuera les racines de o,5 et l’on continuera ainsi de suite; il peut arriver que, en procédant ainsi, on trouve un chiffre trop fort pour la décimale cherchée; on en sera averti, parce que, dans l’équation transformée, la nouvelle racine est négative ; alors on essaye un chiffre moins élevé; si l’on a trouvé un chiffre trop faible, la suite du calcul ne tarde pas à mettre le fait en évidence.

Comme exemple, nous reprendrons l’équation étudiée plus haut

Lt 710:

Cherchons la racine comprise entre 1,3 et 1,4; le calcul se dispose ainsi :

100 —7 7 j 7e — 6 +1 Lau — 4 OUR 00 00 3,3 —3,01 0,097 : 0,3 1 ,08 3,6 —1,93 he

La racine a été diminuée de 1,3; le chiffre suivant est déterminé par l'équation 1,09 7E-1D;007, DO O0 on diminue alors la racine de 0,0

les deux derniers termes donnent alors le chiffre 6; ainsi

d’où l’on déduit le chiffre suivant 8.

139. Lorsque l’on a ainsi trouvé quelques chiffres, on peut trouver plusieurs des suivants par une méthode abrégée ; on voit, par exemple, que, pour trouver le chiffre 8, il n’est pas nécessaire de faire usage des quatre dernières décimales des deux dernières séries; on laisse de côté les deux derniers chiffres de la première série et les chiffres correspondants des séries suivantes.

Calcul des racines imaginaires.

140. IL a été prouvé (110) que l’on pouvait séparer les racines imaginaires en cherchant des limites pour les modules et les arguments de ces racines, ou en cherchant des limites entre lesquelles sont comprises la partie réelle et la partie purement imaginaire. Ensuite, on peut utiliser la méthode de Newton pour déterminer plus complètement les racines. En général, le calcul présentera de grandes difficultés, car l’on n’a pas de moyen commode pour s'assurer que l’on approche effectivement de la racine; aussi vaut-il mieux employer un autre moyen, et l’on ramène la recherche des racines imaginaires à la recherche des racines réelles d’une autre équation.

Soit

f(x) = 0 l'équation à résoudre: posons

DMEELZ) I 1)

On à

fr) + fr) 1z

Il v72

équation qui se décompose en deux autres :

fr) — +) See 0