Une substitution est semblable à ses transformées

Soit Caud.:) un des cycles de S et a;, b,, c;, ... les lettres par lesquelles A remplace a, b, c, ...3; quand on opère la substitution At,

a, se trouve remplacé par a, qui se trouve remplacé par b par la substitution S, qui se trouve lui-même remplacé par b, par la substitution A. La substitution ASA-T remplace donc ai par 1, b, par c,, ..., de sorte qu’au cycle (abc...) correspond, dans la transformée, le cycle (a, b,c,...); donc :

La transformée de S par À peut s’obtenir en effectuant sur les lettres des cycles de S la substitution A.

Exemple :

S Æ(HUCU À — (ac)(bd)), ASA=1— (cdab).

Si | S — (abc)(de), T=(Zca) (be),

on à TMS ASE

où À — (adbc).

Ainsi quand S et T sont semblables, on peut toujours trouver une substitution À qui transforme S en T. Cette substitution

est celle qui remplace chaque lettre de S par celle qui occupe la même place dans T.

151. Les deux produits de deux substitutions sont semblables. ST et TS sont semblables, car ST SHIS)Sn.

152. La transformée d’un produit est égale au produit des transformées de ses facteurs. Ainsi A(ST)A-1= ASA-1ATA-1.

153. Si deux substitutions sont échangeables, leurs transformées le sont.

En effet, si ST— TS.

ASATIATAT1=— ATA-TASA=1, 154. Si les substitutions $S et T sont échangeables, on à ST=TS jou S=TST 1,

et S est égale à sa transformée par T.

Pour effectuer la transformation de S par T, il faut (150)

DES SUBSTITUTIONS EN GÉNÉRAL. 2h 1

effectuer la substitution T dans les cycles de S; alors deux Cas pourront se présenter : ou bien T ne modifiera pas les cycles de S, ou bien elle se bornera à les échanger entre eux. Le premier cas se présentera si les lettres d'un cycle de S n’entrent pas dans T ou si une puissance d’un cycle est un facteur de T, ce qui fera que le cycle transformé commence par une autre lettre sans que l’ordre des lettres soit altéré. En dehors de ces facteurs, T ne peut contenir que des facteurs qui peuvent échanger des cycles de S; cherchons un pareil facteur Q.

Si l’on applique ce facteur au cycle C,, celui-ci se change en un autre C qui doit aussi entrer dans 5, C, se change en C;, -.., Cy se change en C,; d'ailleurs C; gagné par la transformation peut commencer avec une autre lettre que dans S; on à, par exemple,

et C, devient

Le facteur P de S P — DAS . -Cy

est une substitution régulière et, si p —o, le facteur Q de T

OÆ(abi /t) (ais. le C0 NA) :)

est régulier. Q est encore régulier si p n’est pas nul, mais le nombre des lettres dans chaque cycle sera un multiple de y; le premier cycle, quand on prend les indices suivant le module #, devient

(Haba Fr 0 foie), dans lequel on parvient à un terme Œqp+1; qui est identique à &,; alors on doit avoir

qe = li, D. | 10

ou, en appelant à le plus grand commun diviseur de b et de x, et en posant ap; = p, al, — 1,

qei= hu; donc Ji Q est donc un produit de « facteurs circulaires composés chacun de z, lettres, et l’on a

PP — (a @i+p@1+00. ..) (O1 bi+p0i+2p. ee

QU (aiairpairape .) (0 bi+p0i+20. -)25, d'où

Per = Qb,

les membres étant différents de l’unité, car P est d'ordre t'et p<i. S et T seront donc échangeables, seulement si leurs lettres communes constituent des substitutions régulières satisfaisant à la condition précédente. L’équation PP— Qt est une condition nécessaire, mais non suffisante pour que S et T soient échangeables.

155. Il existe toujours des substitutions T satisfaisant à l'équation

(1) Sn — TST-1, lorsque m est premier avec l’ordre de S.

m doit être premier avec l’ordre de chacun des cycles des. S’ est alors semblable à S, car chaque cycle, élevé à la puissance 72, donne un nouveau cycle composé des mêmes lettres. Alors (150) il y aura des substitutions T. Soit T, l’une d'elles, (1) pourra s’écrire

TSTLEETETS