TÉS
sont contenues dans G et sont différentes pour 6 <a; pour B— «x, on obtient les substitutions de I, et pour 6>«, on obtient périodiquement les mêmes substitutions que tout à l'heure, et les substitutions de H quand B est un multiple de «. L'ordre de T doit donc être un multiple de &.
Les œm substitutions que nous venons d'obtenir forment un groupe H,; en effet, on voit que le produit de deux quelconques d’entre elles appartient à la suite de ces «am substitutions, car pour une certaine valeur de Aona
TPSFESTE,
Sur la formation de quelques groupes.
162. Les substitutions qui transforment T en une de ses puissances forment un groupe.
En effet, si « et 6 sont premiers avec l’ordre p de T et si l'on à MTM-i—Ta, NTN-1— TP, on à aussi (MN)T(MN)-1 = MNT... .M-1 — MTBM-1 = MTM-1MTM-1N-1= Te;
de sorte que MN fait partie des substitutions considérées si MetNen font partie.
On peut voir que l’on obtient encore un groupe, si, parmi
les substitutions du groupe considéré, on ne prend que celles dans lesquelles Les exposants de T satisfont à une certaine condition si cette condition est telle que af y satisfait quand & et 5 y satisfont, «5 étant pris suivant le module y ; cela à lieu non seulement quand & et 5 sont premiers avec p, mais encore quand, & et 8 étant premiers avec p, ils satisfont à la congruence
a = km (mod 1), où O0 et Æ sont des nombres donnés, le second premier avec y, m étant quelconque.
En effet, si l’on a a — kr ; 80 = RER
on à
(28 )0 = femitm,
Considérons, par exemple, une substitution circulaire T de u lettres, prenons pour & et 5 tous les nombres premiers avec u; le nombre de ces entiers est o (x); considérons les o(x) puissances de T dont l’exposant est premier à p, et inférieur à u, chacune d’elles peut être formée par transformation de T, et fournir u substitutions, car chaque lettre de la puissance de T peut être placée la première. On obtient ainsi un groupe de o(u) substitutions, et si x est un nombre premier p l’ordre de ce groupe sera p(p—1). On pourrait aussi se borner à considérer les substitutions que l’on obtient quand on écrit T et ses puissances de manière qu'elles commencent avec la même lettre; cette lettre ne figure pas alors dans les substitutions cherchées, et celles-ci sont alors des substitutions de x —1 lettres et forment un groupe d'ordre o(p).
E’xemplent:
More en), Credit La transformation se fait par
D unes
qui avec 1 forme un groupe du second ordre.
Si l’on écrit T° de toutes les manières possibles, on obtient un groupe du douzième ordre qui contient le précédent.
Exemple IT :
Tab: cure),
T2= (ace b dj; T5= (a d be c), Ti (riendicub );
Si a conserve sa place dans la transformation, on obtient le groupe du quatrième ordre
1, (bice d) (Eden
On à vu que si p désignait un nombre premier p on obtenait un groupe de p —1 lettres d’ordre p — 1; ce groupe se compose des puissances d’une substitution circulaire d’ordre P —1, S'il entre une pareille substitution dans le groupe. On peut poser
it (&o, Ai A ... Ap—1 ) Le (& Ar Air .: SA
et on obtient la transformante
Œo Ar Apr ...
u=( }= Cu Cr el po Ay A2 . ….
qui est circulaire si 7 est racine primitive de p, ce qu’on peut supposer, puisque tout nombre premier a des racines primitives ; le groupe cherché est alors
TA te PRE SE Si l’on veut former le groupe d'ordre p(p — 1), on écrira
T'en le faisant commencer par chacune de ses lettres ; les transformantes ont alors la forme
T2 Ur,
car on obtient par une transformation par U# la puissance demandée de T commençant par a,, et avec une transformation par T# on amènera une autre lettre à la première place. Par exemple,
Tab die Ts = rec ed
et l’on obtient la transformante
{bec ? > C ( le Ole Le)
abcde adbec a b'cd'e
on obtient ainsi le groupe cherché, en multipliant les puissances de Ü à gauche par les puissances de T.
Si l’on multiplie à droite on obtient les mêmes substitutions, mais dans un ordre différent.
Le groupe alternée.
163. Parmi les N — n! substitutions que l’on peut former avec n lettres, celles qui sont positives forment un groupe
N PITRÈTE . ; > : , »
d'ordre ; ©t il n'y a pas d'autre groupe de cet ordre.
Lorsqu'un groupe contient une substitution négative, il doit contenir autant de substitutions négatives que de substitutions positives. Si l’on multiplie toutes les substitutions de ce groupe par une de ses substitutions négatives on retrouve le groupe; comme cette multiplication change les substitutions négatives en substitutions positives et vice versa, il faut qu'il y en ait autant des unes que des autres; comme, d’ailleurs, les substitutions positives forment un groupe, il faut que
. . . ,e , N toutes ces substitutions positives forment un groupe d'ordre A
Ce groupe porte le nom de groupe alterné. s Considérons maintenant un groupe d’ordre re formé des
substitutions 1, S1, S,, ...; soit T une substitution quelconque : ; : N ne qui ne fait pas partie du groupe, les — substitutions ST sont
différentes entre elles et différentes de 1, S,, S,, ..., les substitutions S et ST sont alors en nombre N et contiennent toutes les substitutions possibles : les substitutions S doivent donc renfermer et se confondre avec les substitutions T?$ et de même avec les substitutions T*S, T5S, ....
Alors T doit être d’ordre pair, sans quoi TS devrait se trou-
ver dans le groupe considéré. Ce groupe devra alors contenir toutes les substitutions circulaires du troisième ordre et par suite le groupe alterné car on a
(&i &2) (&243) — (&i@2@3), (4; &@2) (a3ai) = (@ A3) (@2 az@),
ce qui montre que toute substitution positive peut être mise sous la forme d’un produit de substitutions circulaires du troisième ordre.
Une fonction qui, sans être symétrique, n’est pas altérée par les substitutions du groupe alterné est dite alternée. Une pareille fonction n'a que deux valeurs, toute substitution ayant la forme S ou ST, S appartenant au groupe alterné et T désignant une substitution négative quelconque; puisque la fonction n’est pas altérée par les substitutions S, elle ne peut posséder qu’une valeur distincte d’une valeur donnée, valeur que lui fait acquérir la substitution T. Pour x = 3
= (Li — La) (Ma — 23) (X3— 1) est une fonction alternée qui prend les valeurs y et — y. 164. Un groupe qui contient toutes les substitutions cireu-
laires du troisième ordre est ou le groupe alterné ou le groupe général,
Car on a vu qu’un pareil groupe contenait toutes les substitutions positives.
Un groupe qui contient toutes les substitutions circulaires d’ordre p est le groupe alterné ou le groupe général.
Car on a (di @42@3) = (dy 434, 4205... ap) (ApAp-1 4542414435),
en sorte que le groupe contient toutes les substitutions circulaires du troisième ordre.
Groupes que l’on peut former par la multiplication des substitutions d'autres groupes.
