Quand deux groupes
I, Si, Sa, ….. DAT Es RCE ET Ta sont tels que Sa Ts = Th, Se,
pour toutes les valeurs de « et 6 et pour des valeurs convenables de 5, et «,, on dit que ces groupes sont échangeables.
Si l’on multiplie toutes les substitutions S d’un même côté par toutes les substitutions T, on obtient un nouveau groupe d'ordre mn, si les groupes considérés n’ont d'autre substitution commune que l’unité.
En effet, toutes les substitutions obtenues ainsi sont différentes, car, si l’on pouvait avoir
SaT6 Se Sa, T8, on en conclurait il — xl S x: Se —= Ts, Ts ; et les groupes auraient en commun une substitution qui, évidemment, est différente de l’unité. D'ailleurs
Sa T8 Sa, T8,
par un échange de facteurs et d'indices convenables, peut être ramenée à la forme Sy T5, ce qui montre que nos z2n substitutions forment un groupe. Des théorèmes analogues peuvent être énoncés pour un srand nombre de groupes. |
Théorème de Cauchy.
166. Si p est un nombre premier, il existe un groupe de k lettres dont l’ordre est la plus haute puissance de p qui divise k!
Si £ < p, le groupe 1 d'ordre p° est le groupe dont il est question dans l’énoncé. Pour démontrer le théorème il suffit de montrer que s’il a lieu pour tous les nombres inférieurs à p? il a encore lieu pour tous les nombres inférieurs à p*+t.
Tout nombre inférieur à p**1 peut être mis sous la forme pq +r où qg <p* et r <p; nous admettrons qu'avec les g lettres a, b, ce, ... on peut former un groupe d'ordre pl où pl est la plus haute puissance de p qui entre dans g!
Au moyen de chaque substitution (abc ...), (de...), ... de ce‘groupe nous pouvons en former une autre
(ar 01 C1. .)(@2 0202 .. 0h . (PDO 2) De (diet) (late D OUTRE
en remplaçant chaque cycle par un produit de p cycles composés des mêmes lettres affectées d'indices différents. Les substitutions ainsi obtenues forment un groupe de degré pq et d'ordre pP ; soit
TErC Ce ce groupe; ses substitutions échangent les lettres sans toucher aux indices. Désignons les substitutions circulaires
(PU PRO; Ps (bi be. Dm)
par Sas SE;
respectivement. Ces substitutions échangent les indices sans modifier les lettres. Le groupe cherché est composé de substitutions de la forme
Ex SL Fe Pres Cu,
et leur nombre est p2p$. Nous allons montrer que toutes ces substitutions sont distinctes et qu’elles forment un groupe; on à, en effet, si C, remplace b par a,
St Cu = CS};
car les deux substitutions que l’on vient d’égaler remplacent
bx par a;,,3; on peut donc échanger des facteurs $ et C dans un produit SC pourvu que l’on modifie convenablement l’indice de S. Si l’on pouvait alors avoir
SYS5 .… Cu = SES... Cy,
il faudrait qu’une substitution C qui n’échange que des lettres pût s'exprimer à l’aide d’un produit de substitutions S qui n'échangent que des indices. Cela étant impossible, les p7+8 substitutions considérées sont toutes distinctes; elles forment un groupe, car le produit de deux d’entre elles peut être ramené à la même forme en faisant reculer leur facteur C; ce produit appartient donc à l’ensemble des p7+$ substitutions.
Il reste à trouver la puissance la plus élevée de p contenue dans (pg +r)!; si l’on met à part les facteurs non divisibles par p on trouve p7q! et pp étant la plus haute puissance contenue dans g!, p°+2 est la plus haute puissance de p contenue dans (pq + r)!. Il est donc prouvé que l’on peut trouver un groupe d'ordre pf+2 où pP+3 est la plus haute puissance de p contenue dans Æ!, où Æ est le nombre des lettres.
167. Si le groupe G d'ordre g contient les groupes H, K d'ordres h, ket si H ne contient pas de substitutions (autre que 1) semblables à celles de K, on a g — multiple de hk.
En effet, appelons S les substitutions de H, T celles de K et U celles de G, il existe 24 substitutions de G de la forme
Sa Ui T8, toutes différentes, car si l’on avait
SxUi Tg — Sa, U: Tg,, on en déduirait UT8Tg! Uri = S5tSe,
ce qui est absurde, puisque T,Tg! et S;'S,, ne peuvent être toutes deux égales à 1 et ne sont pas semblables. Soit alors U, une substitution non comprise parmi les A4
26 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE Il.
substitutions considérées; G contiendra encore Ak substitutions distinctes de la forme
Sa UT, distinctes des précédentes; car, si l’on avait SU: Tg — Sa, UT8 ,
U, se trouverait parmi les substitutions déjà considérées. Si l’on continue de cette manière, on épuise toutes les substitutions de ( à savoir 2k substitutions dans chaque série, et il faut que AK divise g.
. Tou L è pist ar ur 168. Tout groupe G dont l’ordre est divisible par un nombre premier p contient une substitution d'ordre p.
Supposons que le groupe G soit formé avec X lettres et que son ordre soit égal à £, ce groupe et le groupe F considéré S 166, supposé d'ordre pl, sont contenus dans le groupe général d'ordre £!. Si G ne contenait pas de substitution d'ordre p, il ne contiendrait pas de substitution semblable à celles de T'; car F ne contient que des substitutions dont l’ordre est une puissance de p (159), et il y a toujours des puissances des substitutions semblables à celles-ci dont l’ordre est p; Æ! devrait donc être divisible par gp$ (167), ce qui est impossible si g est divisible par le facteur premier p, puisque pl est la puissance la plus élevée de p contenue dans Æ!. G doit donc contenir au moins une substitution d’ordre p.
Groupes transitifs et intransitifs.
169. Un groupe est dit éransttif, si au moyen de ses substitutions on peut amener une quelconque des lettres à la place occupée par chacune des autres; il est értransitif dans le cas contraire.
Quand un groupe est intransitif, une lettre a; peut remplacer a, 43, ap Mais non 01026 10/al0rs tune lettre & ne peut remplacer une lettre b; sans quoi, en combinant deux substitutions du groupe a, on pourrait faire occuper à à, la place d’une lettre à.
Ainsi, dans un groupe intransitif, on pourra distribuer les lettres en deux ou plusieurs systèmes tels que dans un même système les lettres ne puissent que s’échanger entre elles, et non avec celles des autres systèmes; toute substitution du croupe se décomposera en cycles qui ne contiennent que des lettres d’un même système.
Naturellement, il faut dire quelles sont les lettres en question. Ainsi le groupe général de nr — 1 lettres est transitif si l’on n’a à considérer que les z — 1 lettres de ce groupe; il devient intransitif par rapport à un système contenant, outre ces z — 1 lettres, d’autres lettres que le groupe considéré ne déplace pas.
Un groupe est m fois transitif s’il est possible de faire passer, au moyen de ses substitutions, à la fois m lettres données à la place de m autres lettres arbitraires distinctes ou non des premières.
On voit facilement que, si l’on peut remplacer rm lettres quelconques par 72 lettres données, on peut également remplacer m lettres quelconques par 7» lettres quelconques.
Le groupe général de rx lettres est » —1 fois transitif, le oroupe alterné x — 2 fois. Si un groupe de » lettres contient une substitution circulaire de À lettres, il est au moins une fois transitif; s’il contient en outre une substitution circulaire de n — 1 lettres, il est deux fois transitif, etc.
176. St l’on considère des lettres déterminées a, b, c, ... d’un groupe G (transitif ou intransitif) et si le groupe M qui ne déplace pas ces lettres est d'ordre k, G est d'ordre Kp, p désignant le nombre des systèmes de places que prendront a, b,c, ... par les substitutions de G.
Soient, en effet, I, E TL, CHEN Tax
les substitutions de H, et R une des autres substitutions; les
substitutions RONIER I R SP TR
ri
298 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE l{.
transportent toutes les lettres a,b,c, ... aux mêmes places, et cette propriété n’appartient qu'à ces substitutions, car, si une autre substitution R, possédait cette propriété, R,R=! laisserait les lettres invariables et appartiendrait au groupe des substitutions T. R, se trouverait alors donc dans la suite TR. Les substitutions de G peuvent donc se partager en p séries de Æ substitutions.
St Gest m fois transitif, si l'on considère #2 lettres a, b, c, ..., le nombre total des lettres étant x, on aura
d’où l’on voit que l’ordre d’un groupe m fois transitif de n lettres est divisible par n(n—1)...(n—m+i).
Si G est intransitif et si l’on considère « lettres, échangeables entre elles, les substitutions qui n’échangent pas ces « lettres forment un groupe; soit Æ son ordre; le nombre des systèmes de places auxquelles on peut amener ces lettres est un diviseur de «!; l’ordre de G est donc un diviseur de Æ2!; si l’on raisonne de la même façon sur les 2 — à lettres restantes et ainsi de suite, on voit que l’ordre de G est un diviseur deal y MES LOU 6, RSA OEM AT Tao
et désignent le nombre de lettres des systèmes dont les lettres peuvent être échangées.
171. St un groupe est m fois transitif, et s’il contient une substitution qui ne déplace pas plus de m lettres, il est le groupe général ou le groupe alterné.
Soit S une substitution qui déplace au plus »2 lettres; soit S, une substitution quelconque semblable à S; le groupe doit contenir une substitution qui change les lettres de S dans les lettres correspondantes de S, (169); si l’on transforme $S par cette substitution, on obtient S,; cette substitution entrera donc aussi dans le groupe. Soit
(GG... 4h)
un cycle de S. Pour $, on peut prendre une substitution con-
tenant le cycle (app: CU} A2 434),
les autres cycles de S et S, étant les mêmes, à l’ordre des lettres près qui sera renversé. G renferme aussi la substitution S19 = (&a3@2),
et par suite toutes les substitutions circulaires du troisième ordre ; & contient donc le groupe alterné (16%).
Cette démonstration suppose que S contient un cycle de trois lettres au moins. Dans le cas contraire on peut prendre pour les deux cycles de S ets,
(&1@2) et (das), a; étant une lettre qui n’entre pas dans S; alors SS: —= (a 4243).
172. Quand un groupe m fois transitif contient une substitution qui ne déplace pas plus de 2m — A lettres, il est le groupe alterné ou le groupe général.
Soit, en effet,
SE ET DUC HORS (TARA une des substitutions qui déplace g lettres, et supposons m << q<<2m — 3. Le groupe contient une substitution T qui ne déplace pas nm — 1 de ces lettres a, b, c, ..., d,e, et qui remplace les autres par &, 6, y, ..., dont l’une au moins, «, qui remplace f, n'existe pas parmi les g lettres considérées. Le groupe contient alors la substitution
LRNTS DER GPU Te TOR PROG TAN
et la substitution S-!U, qui ne contient que les lettres e, «, B, fs &, -.., et qui ne peut être r, puisqu'elle déplace au moins a; le nombre de ses lettres est au plus
(JL) EL = 22m ES <19;
de cette manière, à l’aide de la substitution donnée, on peut
en trouver une autre déplaçant moins de lettres et, en continuant ainsi, On finit par en trouver une qui déplace au plus m lettres, ce qui démontre le théorème.
Le nombre minimum des lettres déplacées par une substitution d’un groupe est ce que l’on appelle la classe du groupe.
173. L'ordre d’un groupe de n lettres, m fois transitif, qui ne contient pas le groupe alterné, est un diviseur de
ñn | re.
a désignant le plus grand des nombres m et 2m — 14.
En effet, si l’on forme le groupe général de « lettres, il ne contient pas de substitution semblable à une substitution du groupe donné déplaçant plus de « lettres; si l’ordre du groupe donné est g, ga! sera un diviseur de n! (167).
174. Un groupe de degré n, qui ne contient pas le groupe alterné, ne peut pas être plus de q fois transitif, q désignant Le plus petit des nombres
Si le groupe est g fois transitif, son ordre (170) est un mulüple de
n(n—1)...(nr—q +1);
ce nombre doit (173) être un diviseur de — », ou(rz—gj)ldoit
être divisible par &!; on doit donc avoir n—q2a, q=n— a, où « est le plus grand des nombres g, 2q — 4; il en résulte
