EC HEUE PE S

IA

M. Jordan a fait voir qu’un groupe de degré p + « ne peut

être plus de « fois transitif, si p est premier et si « > 2 (Bulletin de la Soc. math. de France, t. 1).

175. St un groupe G, n fois transitif, contient un groupe H, permutable avec toutes les substitutions de G, H est au moins n — 1 fois transttif.(Ce théorème est soumis à une exception.)

Le théorème est vrai pour z = 2, car, si l’on désigne par S—(ab...)(...)... une substitution de H,,G contiendra une substitution T qui remplace a, b par deux lettres arbitraires. H contiendra alors TST—!', qui remplace une lettre arbitraire par une lettre arbitraire.

A l’aide de G et de H, formons deux nouveaux groupes G:;, H,, en laissant de côté les substitutions qui contiennent une lettre déterminée, «a par exemple; H, est contenu dans G:;, il est permutable avec toutes les substitutions de G,. Comme G est À fois transitif, G, l’est 7» — 1 fois.

I est une fois de plus transitif que H,, car, au moyen des substitutions qui ont été écartées, on peut placer a où l’on veut; le théorème énoncé a donc lieu pour G et H; s’il à lieu pour G; et H,, et comme il a été démontré pour le cas où n — 2, il est général, pourvu toutefois que l’un des groupes H, ne se compose pas de la seule substitution identique 1.

Il y a donc lieu de considérer à part le cas où H;,—(1); dans ce cas, toutes les substitutions de H (à part la substitution 1) contiennent toutes les lettres qui entrent dans G, sans quoi on pourrait prendre pour a une des lettres qui font défaut; une seule substitution de H peut remplacer «a par b. Soient, en effet, T et U deux substitutions différentes; remplaçant a par b, TU! est différent de r et ne peut contenir a; d’un autre côté, a s’échange avec toutes les autres lettres, le nombre des substitutions est alors égal à celui des lettres; il en résulte que H est une fois transitif (170).

Si G est deux fois transitif, le théorème est vrai; on n’a donc à considérer que le seul cas nr > 2. Si H contenait une

substitution STAR EN rt

262 QUATRIÈME PARTIE. — CHAPITRE Il.

il contiendrait une autre substitution remplaçant a par b

STE TT EN De à

car si G est plus de deux fois transitif, il existe une substitution qui transforme $S en $,. On voit donc que les cycles de H ne contiennent que deux lettres, et l’on en conclut facilement que l’on ne peut avoir que n — 3.

Puisque les substitutions de H sont du second ordre, l’ordre de H est une puissance de 2. Les substitutions de H sont échangeables, car si S et T sont deux de ces substitutions, on a

(ST) (ST) = 1, d'où STEUTS.

Le groupe 1, (ab)(cd), (ac)(bd), (ad)(bc),

contenu dans le groupe général du quatrième ordre, est un exemple. |

Sur les groupes transitifs qui contiennent d'autres groupes également transitifs.

176. Soit G un groupe transitif de degré supérieur à p qui contient un groupe 72 fois transitif, À, permutant leslettres &;, d:, ..., 4). Les Substitutions de G, qui ne permutent que ces lettres, forment un groupe qui contient À et qui est au moins m fois transitif, nous supposerons que ce groupe soit À.

Soient b,, b:, ... les autres lettres permutées par G; supposons que G contienne un groupe renfermant À et permutant les lettres a,, &, ..., a,, b,. Ce groupe doit contenir des substitutions qui remplacent D, par un « et, par suite, des substitutions remplaçant db, par un a quelconque. Une pareille substitution permet de mettre b, à une place quelconque; au moyen des substitutions À, on peut mettre »2 des lettres « à des places quelconques; le groupe est donc au moins m+1 fois transilif.

Ce groupe peut lui-même être contenu dans un autre groupe contenu dans G, lequel déplace les lettres a, @, ...,a,, b;, b:

et est au moins 72 + 2 fois transitif. En continuant ainsi, deux Cas pourront se présenter :

1° Après avoir ajouté q lettres une à une, nous parvenons au groupe G au moins 77 + q fois transitif;

2° Nous arrivons à un groupe que nous ne pouvons plus généraliser de cette manière, parce qu’il n'existe plus de sousgroupe contenant une lettre de plus; nous désignerons maintenant par À ce groupe 2 fois transitif, permutant les p lettres Ai, @, ..., 4). G Contient au moins deux lettres b, et de telle sorte qu'aucune de ses substitutions ne contienne pas seulement une seule lettre b:; car s’il contenait une semblable substitution, il existerait un sous-groupe échangeant seulement les a et un b, ce qui est contraire à notre hypothèse.

Considérons maintenant, parmi les substitutions qui échangent un a avec un b, sans changer tous les a avec des b, une substitution dans laquelle les b sont en nombre minimum ; soit T cette substitution, supposons qu’elle remplace a, par b,, &, ne remplaçant pas lui-même un b; nous supposerons qu’elle remplace un b par un autre b, qu’elle remplace, par exemple, 6, par b,; on aura

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