HORS PU DS

Dans le groupe À, il entre une substitution S qui échange a, en a,; Si on la transforme par”T, on obtient une substitution qui remplace à, par un a, dans laquelle à, n’entre pas et qui, en outre, ne contient pas d’autres à que ceux qui entrent dans T. La substitution inverse remplace un a par un bet ne

contient pas b.. Or cela est contraire à notre hypothèse. On a donc le théorème suivant :

Une substitution qui remplace un a par un b et qui contient le minimum de lettres b doit remplacer chaque a par un b, ou ne doit remplacer aucun b par un autre b.

Dans le premier cas, le nombre des lettres b doit être au moins égal au nombre des lettres a.

Dans le second cas, on a

rs bi 4e) es (4 CSC ;

Nous supposerons maintenant À au moins deux fois transitif. Si nous supposons que chaque a n’est pas remplacé par un b, a, par exemple sera remplacé par &,;, où r pourra être égal à s. À contient une substitution qui ne déplace pas 4, et qui remplace a, par @&,. Si on la transforme par T, on obtient une substitution qui ne contient pas D, et qui remplace a; par b,; or cela est impossible, T doit donc remplacer tout a par un à. Donc :

Si À est deux fois transitif, une substitution T, qui remplace un a par un b, doit remplacer chaque a par un b.

Nous désignerons par b,, b,,..., b, les b qui, dans T, remplacent les a; s’il y a plus de p lettres à, nous les désignerons par c. En transformant À par T, on obtient un groupe B des lettres b, m fois transitif.

Il existe une substitution qui remplace à, par c,; elle remplace, comme on l’a vu, tous les a par des b ou des c; si parmi les lettres substituées aux & il se trouve des b, transformons cette substitution par T-!, nous obtiendrons une substitution qui remplacera les a en partie par des a, en partie par des c; or cela est impossible; donc toute substitution remplaçant un & par un c doit remplacer chaque a par un c, il y a donc au moins p lettres c; on prouve aisément, comme plus haut, qu’une substitution qui remplace un b par un c remplace chaque à par un c.

Si l’on continue ainsi, on voit que les lettres de G peuvent être réparties "en syslLémeside pilétiresta; 00e ARATeen’ES indices 1, 2, 3,...,p; les substitutions du groupe échangent, soit les lettres d’un même système, soit toutes les lettres d’un système avec toutes les lettres d’un autre système.

Les groupes qui jouissent de cette propriété sont dits enprtmitifs. Les autres groupes sont dits preémitifs. Les groupes imprimitifs sont une seule fois transitifs, car ils ne peuvent, par exemple, remplacer à la fois a, par @&, et a par b:.

177. On a supposé le groupe À au moins deux fois transitif; s’il était seulement une fois transitif, la substitution T, qui contient le plus petit nombre de lettres b peut échanger les lettres &« en partie par des lettres a, en partie par des lettres b.

Nous désignerons les a, qui sont remplacés par des b, par &i, &, ...3; les autres seront désignés par «&. On a alors

0 EPA € 7 Ce ME où «, pourra être un a.

À contient une substitution $, qui remplace a, par @; supposons qu'elle remplace un & par un «; transformons cette substitution par T, on obtient une substitution dont l'inverse remplace un « par un b et b, par b,; or c’est impossible : donc toute substitution de À, qui remplace un a par un &, remplace tout a par un &; nous pouvons continuer ce raisonnement comme plus haut et montrer que À est imprimitif. On peut donc énoncer le théorème suivant :

Un groupe transitif de p+q lettres, qui contient un groupe de p lettres qui est m fois transitif, et qui ne contient pas de groupe imprimilif de p lettres, est imprimitif ou au moins m + q fois transitif.

Deux cas particuliers sont à remarquer.

Un groupe transttif du degré n qui contient une substitution circulaire d'ordre p, p désignant un nombre premier