L . ae LE est au moins (n —p +-1) transilif
La substitution circulaire et ses puissances forment un groupe d'ordre p qui ne peut être imprimitif, et nip, ni aucun nombre plus grand que p et plus petit que z ne peut diviser », de sorte que le groupe considéré ne peut être imprimitif.
Un groupe transttif qui contient un sous-groupe alterné
est imprinutif ou contient le groupe alterné formé avec toutes les lettres.
Car un groupe de degré 7» ne peut être au moins 2 — 2 fois transitif que dans le cas où il est le groupe alterné ou le groupe général.
178. Ordre des groupes imprimitifs. — Dans un groupe G imprimitif d'ordre mp les substitutions des lettres a;, a, ..., Gps 0150 NO NC CRE E POPAMEDOUVeTULEIN RACE que des lettres d'un même système par des lettres d’un même système. Soient T, et T' deux substitutions qui permutent les lettres de la même manière, abstraction faite des indices, et S:, S2>, ... les substitutions qui n’opèrent que sur les indices. La substitution T°, T;,' appartient alors à la série des substitutions S; dans la suite
fi DIET S2 T1,
se trouvent toutes les substitutions de G qui, sans avoir égard aux indices, échangent les mêmes lettres de la même façon. Soit Via En Tee
une substitution dont les lettres sont échangées de la même façon.
À l’aide d’une autre substitution de G, qui n'appartient ni à la série S, ni à la série ST,, formons la série
D, S1 To, So T>, CRE
caractérisée par la substitution U, et ainsi de suite. Les substitutions Ü forment un groupe, car si T,Tg entre dans la suite qui commence par T,, on a
U,Ug = U;.
L'ordre de G est donc un diviseur de m\(p!}", car G est contenu dans le groupe imprimitif pour lequel le groupe U est le groupe général d'ordre m1! et S,, S,, ... et
leurs produits sont donnés par les groupes généraux que l’on peut former avec les m systèmes de lettres.
Un groupe H est zsomorphe avec un groupe K, quand à chaque substitution de K correspond une substitution de H et à chaque substitution de H une ou plusieurs substitutions ‘de K, le produit de deux substitutions de K correspondant au produit des substitutions correspondantes de H.
De cette définition et de ce qui précède, il résulte que le groupe U est isomorphe avec G.
Exemple. — Si l’on prend Ut Use (ab); p =D;
on peut former le groupe du quatrième degré et du huitième ordre
1, (&@2), (bid»). (aia2) (bide),
(&i 0: G2 V2), (ai01)(aib2), (&i 02) (ai), (as bsa201);
ce groupe est imprimitif et isomorphe avec 1, (ab).
Groupe d’une fonction et nombre des valeurs qu’elle peut acquérir.
179. Les substitutions que l’on peut faire subir aux lettres dont dépend une fonction, sans altérer la valeur de cette fonction, forment un groupe.
En effet, si une fonction reste inaltérée quand on opère avec la substitution S ou avec la substitution T, il est clair qu'elle ne changera pas non plus quand on effectuera la substitution ST; celle-ci fait donc partie des substitutions qui n’altèrent pas la fonction, qui par suite forment un groupe. Ce groupe s'appelle le groupe de la fonction etl’on dit que la fonction admet les substitutions du groupe. Si la fonction par exemple estsymétrique, son groupe sera le groupe général; si elle est alternée, son groupe sera le groupe alterné. Le groupe du huitième ordre et du quatrième degré considéré (178) appartient aux fonctions (a, est remplacé par Essen
(tite) (Ts di), Lilo fsts, (T1 Lot Xs— ti},
Soit maintenant g l’ordre d’un groupe d’une fonction, qui se
compose des substitutions
1e Dr Sa: ee Sy
Le groupe général, si le nombre des lettres est 7, pourra
ètre représenté par les — séries de substitutions al
TS: To So, DuCue ToSg—1
et comme les substitutions S ne changent pas la fonction considérée, toutes les substitutions de la série feront acquérir à la fonction la même valeur que T,.
On oblient donc le nombre des valeurs distinctes que peut acquérir une fonction de n lettres en divisant n! par l’ordre du groupe de la fonction.
Exemple. — Les trois valeurs Lilo + Lily, Li l3 + Lou Lily + Lod3
pourront se déduire de la première au moyen des substitutions
LONG LS) MT Te.
Le groupe de la fonction se compose de huit substitutions; si on les multiplie par les trois précédentes, on obtient les vingt-quatre substitutions du groupe général. La somme et le produit des trois fonctions considérées ne sont altérés par aucune des vingt-quatre substitutions en question, elles sont symétriques.
180. On peut toujours former une fonction admettant un groupe donné; on peut, par exemple, former une fonction y dont toutes les valeurs sont distinctes ;
VF = Ti + A2Lo +...
OÙ 1, &», ... sont des nombres différents, est dans ce cas; si l’on désigne par y, y2, ... les valeurs que prend y parles substitutions du groupe donné
s = (a—Yyi)(a ya)...
où + est indéterminé, est inaltérée par les substitutions du groupe et variable pour toute autre substitution.
181. Si le groupe de la fonction y, est G et si la substitution T transforme y en y, le groupe transformé de G par T appartiendra à y.
Soit, en effet, S une substitution de G. S ne change pas y; TST=! ne changera pas y,; carona
Tro = ÿ1 ou T-17: = Ÿ'0 ; ainsi RSS Te Tr ere
Lorsque G est permutable avec T, le groupe transformé coïncide avec G, de sorte que le groupe appartient aussi à y1. On voit ainsi que st le groupe G appartient à y, il appartient aussi aux fonctions transformées de y, par les substitutions permutables avec G.
Indice d'un groupe.
182. On appelle indice d'un groupe, le quotient obtenu en divisant l’ordre du groupe général par l’ordre de ce groupe.
Considérons une fonction quine soit pas altérée par toutes les substitutions d’un groupe, mais qui soit altérée par toutes les autres, le nombre des valeurs distinctes de cette fonction, d’après ce que l’on a vu (179), sera égal à l'indice du groupe. L'indice du groupe général est 1, celui du groupe alterné est 2.
On a vu (170) que l’ordre d’un groupe intransitif de lettres était un diviseur de «lBl... oùa+B+...—n. L'indice de ce groupe est alors un multiple de
n | CARTE
L'ordre d’un groupe imprimitif est (178) un diviseur de
mi(plhr,
quand le groupe contient #77 systèmes de p lettres. La plus petite valeur que puisse prendre l'indice z est donc
AN MOUMpRE LS (M ET) D RTS ED ESS Di
le numérateur et le dénominateur contenant le même nombre de facteurs. Pour rx = 4, on obtient le groupe de l’exemple 178 dont l'indice est 3. Pour 7 — 6, le plus petit indice est 10, pour x —8 il est 35 et il croît rapidement. On peut prouver que cet indice pour x =-{4 est supérieur à z, bien que ce fait soit presque évident.
183. Nous allons encore considérer un groupe primitif qui ne contient pas de groupe alterné. Soient p:, ps, ... des nombres premiers distincts dont la somme ne soit supérieure au nombre » des lettres; avec p, lettres formons une substitution circulaire non contenue dans le groupe; les substitutions circulaires de p, des lettres restantes ne pourront pas toutes entrer dans le groupe; prenons une de celles qui n’y entrent pas et continuons de cette facon autant que possible; soit T la substitution d'ordre p,p;... obtenue en faisant le produit de ces substitutions circulaires.
Le groupe ne peut contenir ni T ni ses puissances, car parmi les puissances d'une telle substitution se trouve au moins une des substitutions circulaires qui n’entrent pas dans le groupe.
Soient alors 1, S;, S,, ... les substitutions du groupe considéré, g leur nombre; formons toutes les substitutions telles que T*5S8; elles sont toutes différentes et leur nombre est {P1P2...: ce nombre est au plus égal à n2!; donc
Il en résulte que l'indice du groupe ne peut étre inférieur au produit des nombres premiers dont la somme ne dépasse pas n.
184. Supposons que les nombres premiers employés soient Pis Dash DastdiOts Pi PEER pan,
mais P8 désignant un nouveau nombre premier quelconque
HER Pace CPat Pas 72:
le nombre P1P2:-:: Pa—-1i— Po
Pa désignant le plus grand de ces nombres premiers ou celui qui en approche le plus n’est pas divisible par un des nombres p;, pe, ..., Pa; C’est donc un nombre premier ou un produit de nombres premiers différents de ceux-ci : P8 peut donc être pris inférieur ou égal à ce produit; alors
Pit Pete Part Pi1Pa Dar > nl ou = I 12 P1P2:.. Pa-1Pa > A Bolt:
De cette manière, on voit qu’il n’existe qu’un seul groupe d'indice plus grand que 2 et moindre que #7, à savoir pour n = 4. Parmi les groupes de z lettres dont l'indice est » se trouve le groupe général de » — 1 lettres. Ce groupe appartient aux fonctions de z lettres symétriques par rapport à n — 1 d’entre elles. Si l’on prend pour les nombres premiers POULE MCSIUUIMDrES 2210, 10) MERE ONNOIT QU'UR/erOUpDe d'indice z n’est possible que pour
n<io0(=2+3+5);:
et comme
O7 0 8 = 3 +5, Pa, Me Root À
il reste à considérer les cas où nr — 4 et n —6. On voit facilement que, pour rz = 4, il n’y à pas de groupe transitif d’indice 4; pour 2 = 6, il y a un groupe d'indice 6 trois fois transitif appartenant aux fonctions de six lettres possédant six valeurs sans être symétriques par rapport à cinq d’entre elles; on obtient une pareille fonction en multipliant entre elles les expressions
ab+cd+ef, ac+be+fd, ad+bf+ce, a+bd+fe, af + bc+ed.
1l est donc impossible de trouver une fonction de n lettres possédant plus de deux et moins de n valeurs, excepté si n — 4. Il est impossible de trouver une fonction de n lettres ayant n valeurs, si elle n’est pas symétrique par rapport à n — 1 lettres, excepté pour n — 6.
Des substitutions linéaires.
185. Considérons une substitution formée avec les lettres As jy + An 13 Si, dans une transformation d'indices, l’un d'eux devenait supérieur à r — 1, il faudrait sous-entendre qu'il doit être remplacé par le reste de sa division par »; tn +4, 2n+ a, ... Seront donc considérés comme représentant le même indice. Représentons par le symbole
la substitution qui remplace la lettre qui porte l'indice z en général par une autre portant l'indice F(z3). La fonction F(2) devra être telle que, pour 3: —0,1,2, ...,n —1, elle prenne à l’ordre près ces mêmes valeurs.
Nous considérerons en particulier les substitutions 4-
néaires az + 4 | ae F(3) = as + b remplira la condition dont nous venons de parler, si b désigne un nombre entier quelconque et si & est un nombre premier avec », car on obtient des restes tous différents en divisant az + b par r et en attribuant à z les valeurs 0, 1,2, ..., n—1.
Les substitutions circulaires sont un cas particulier des substitutions linéaires; par exemple, si
D Gÿ lis Cru),
et) Et 7 gs — () ee Z 3 z
23 +I ) (Vida ( ) — (45 1 437 ...),
LA
in
Le nombre des substitutions linéaires de z lettres est no(n), o(n) désignant le nombre des entiers premiers avec x et inférieurs à 2; a peut, en effet, recevoir o(n) valeurs et b peut en recevoir »2. Les substitutions linéaires forment un groupe,
car De) ie) 7 (RES 4) 3 z 3
Ce groupe est celui qui a été considéré (162), car si l’on transforme (Go 41@2...)
de + 3 : 2
on obtient une substitution dans laquelle la série des indices est
par
DA OPNT a ELU PTE
la substitution considérée est donc transformée en sa puissance a.
D’après ce qui précède, on voit que toutes les substitutions du groupe linéaire peuvent s’obtenir en combinant par multiplication deux substitutions
k —- ‘) 4 = 2 ss 2
où a est racine primitive de æ?()= 1,
186. Si n est égal à un nombre premier p, l’ordre du groupe linéaire est p(p —1), et il n'y a pas d'autre groupe de p lettres qui soit du même ordre.
En vertu du théorème de Cauchy (168), un groupe d’ordre p(p —1) doit contenir une substitution circulaire d'ordre p; soient
OMS Sc PE N'a les puissances successives de cette substitution et T une autre substitution du groupe; toutes les substitutions de la forme SXTSP K: 18
ne peuvent être différentes, car leur nombre est p?; on doit donc avoir, pour des valeurs convenables des exposants,
SATSP — SYTSŸ ou TSÉ TÔT = SYT%;
d’où l’on tire, en élevant les deux membres à une puissance
convenable, TST-1 — Sn,
T transforme donc les substitutions S en leurs puissances, et ces substitutions forment, comme on l’a vu, le groupe li-
nealre.
187. La notion de substitution linéaire est susceptible d’extension, et l’on peut concevoir des fonctions linéaires frac-
tionnaires en posant az +b
NZ) = EN
Lorsque F(z:) — 9, il faut supposer que g est donné par l’équation indéterminée
az+b=q(az+bi)+py
(on suppose x égal à un nombre premier p). Si une valeur de z rend le dénominateur a,s + b, multiple de p, on à g =, une lettre devra alors porter l'indice , et on a les p +1 lettres
La lettre qui porte l'indice æ sera remplacée par celle qui porte l’indice & donné par la formule
«a DER
ou Ma+pY = 4.
Ces substitutions forment un groupe d'ordre (p —1)p(p +1). Nous n’en dirons pas davantage sur ce sujet.
On à étendu ces notions en considérant des lettres avec
plusieurs indices, par exemple x et y. Ainsi le symbole
fe ax +07 \, Ys Mr +biy ou
ax+by, axr+biy Ho)
représente une substitution qui remplace + ety parax+by, ax + b,y; comme plus haut, les indices doivent être censés remplacés par le reste de leur division par un nombre donné. Ces considérations trouvent leur application quand le nombre des lettres est la puissance d’un nombre premier. Quand le nombre donné (module) est p, a,,: représente un ensemble de: p° lettres. |
Ordinairement, on appelle groupe linéaire le groupe général d'ordre no(n) dont nous avons parlé; mais on comprend aussi sous cette dénomination d’autres groupes contenus dans ce groupe et transitifs ; leurs ordres sont de la forme an, « désignant un diviseur de o(n).
Groupe d'une équation.
188. Une équation irréductible peut devenir réductible si l’on suppose certaines irrationnelles données et pouvant entrer dans les coefficients. Ainsi, par exemple, l'équation
Li— it PI — 0
esL irréductible, mais elle devient réductible si l’on se permet d'employer l’irrationnelle 3; elle se réduit alors aux équa-
tions , L L=—2 V0 = 0 Vel UT 2 EI)
quand on se permet ainsi d'employer dans les calculs certaines expressions, on dit que ces expressions sont adyointes. L'équation considérée est réductible quand on adjoint V3 ; elle reste irréductible quand on adjoint V5, V7, .... Toute équation devient réductible en adjoignant une ou plusieurs de ses racines.
Dans la suite, nous supposerons l’adjonction de certaines irrationnelles, et ces irrationnelles pourront alors entrer, sous forme rationnelle, dans les coefficients des équations que nous aurons à considérer.
Galois a montré qu’à toute équation correspondait un certain groupe de substitutions servant à la caractériser, ou plus exactement, servant à caractériser une classe d’équations. Quand on connaît certaines propriétés des racines, on
peut les utiliser pour découvrir le groupe de l'équation et, inversement, quand on connaît le groupe de l’équation, il en résulte certaines propriétés communes à toutes les équations de la classe à laquelle appartient ce groupe; nous allons maintenant montrer comment on parvient à la notion du groupe.
189. Nous nous donnerons l'équation réductible ou irréductible du degré 7
(1) f(x) TAN) dont nous supposerons les racines toutes inégales Li, Lo, .. Zn:
Considérons une fonction des racines qui prenne des valeurs toutes distinctes quand on y permute ces racines; une pareille fonction a 2! valeurs, qui sont racines d’une équation de degré n! sans racines égales. Nous pouvons, par exemple, prendre cette fonction égale à
(8) Vi= Ti + Lolo +... + AnTn)
is Hs, -.- An étant choisis de telle sorte que toutes les valeurs de y soient distinctes.
L'équation du degré nr! qui détermine les valeurs de y peut être réductible; décomposons-la en d’autres irréductibles et désignons l’une d'elles (la résolvante) par
Supposons-la de degré m.
Soient Y1, V2, +. Ym 808 racines. On a vu (74) que chacune de ces racines pouvait s'exprimer rationnellement en fonction de l’une d’entre elles; on à vu aussi (73) que toute racine de (1) pouvait s'exprimer rationnellement au moyen d’une quelconque des racines de (3).
On peut donc représenter les racines de (1) sous la forme
(4) M CEE CO. ra 10
ÿ,, W,,..., W, désignant des fonctions rationnelles. Désignons par À, la permutation (4) des racines représentées par cette série; si l’on change y, en 7x, À, se changera en une autre permutation À; des racines æy, æÆ+, ..., à Savoir celle qu’on obtient au moyen de la substitution qui change y, en yr (75). On obtient ainsi » permutations des lettres x, Lai T0 LA SN OT
(5) A:, A), ECC) À y»
qui se déduisent de À, au moyen des substitutions (6) I, Si, S2, …... Sete
Nous allons prouver que ces substitutions forment un groupe. On a, en effet, HAS 0(Y1 F
0 désignant une fonction rationnelle déterminée. La série A} ou Sz 1A, pourra se mettre alors sous la forme
[en écrivant 0 y, au lieu de @(y;)...] et, en opérant avec la substitution S,-1, on obtiendra pour la série des Sy-1 Sx-1 A:
Wi0Yo "WP20Yo es ME OT:
car l'effet de la substitution $S,-, est de remplacer 7, par ya. Si la suite de ces racines coïncide avec une des suites À, le produit Sy-1 Sx—1 Se trouvera dans la suite (6), et les substitutions de cette suite formeront un groupe. Puisque 0(7,) — y, est une racine de l'équation irréductible (3), il faut que l'équation du degré m dont les racines sont 0(Y1), O(Ya); +.» 0(Ym) Coïncide avec (3), et l’on doit
avoir, par exemple, 0(Ya) = Tr;
la série précédente coïncide alors avec la série A’. Il est donc prouvé que les m substitutions (6) forment un
groupe. Ce groupe a été désigné par Galois sous le nom de groupe de l'équation; nous le désignerons par G.
Propriétés du groupe d’une équation.
190. Toute fonction rationnelle U des racines dont la valeur numérique n’est pas altérée par les substitutions du groupe G peut s'exprimer rationnellement au moyen des quantités connues.
La fonction U peut s'exprimer rationnellement au moyen d’une des racines de (3), par exemple y;, de telle sorte que l’on à
UEe CRUE o désignant une fonction rationnelle. Comme les substitutions de G n’altèrent pas la valeur de U et que leur effet est de permuter ÿ1 AVEC Vas Vas + +; Ÿms ON À AUSSI
U= (72) = p(ys) =... = pm), et, par suite,
U= — [o(y1) + p(r2) +... + o(Ym)l.
hi
U s'exprime ainsi comme fonction symétrique des racines de (3)et, par suite, peut s’obtenir au moyen des quantités connues.
191. Une fonction rationnelle des racines qui peut s'exprimer ralionnellement au moyen des quantités connues reste numériquement tnaltérée par les substitutions du groupe G.
Soit B la valeur donnée de la fonction; en exprimant toutes
les racines qui entrent dans B au moyen de y;,ona o(Y1) + B, o désignant une fonction rationnelle; y, est donc une racine de p(Y7)—B—o,
qui doit, par suite, admettre les autres racines Ya, Y3» : + +» Ym3 on à donc
o(Y2) =B, p(Y3) =B, ...) E(Ym)=B,
si bien que la fonction conserve la valeur B quand on effectue les substitutions de G.
Ce théorème est encore vrai et la démonstration conserve toute sa force quand B est irrationnel, pourvu que l’adjonction des irrationnelles contenues dans B n’empêche pas (3) d’être irréductible.
192. Il n'y a que les substitutions du groupe G qui laissent invartables toutes les fonctions rationnelles des racines.
Considérons, en effet, la fonction (a — V1) (a — Ya )e . (a no à À)
où « est indéterminé; on voit facilement que cette fonction, dont la valeur est rationnelle, ne reste inaltérée que par les substitutions permutant Yi: Yes + .., Ym, C'est-à-dire par les substitutions du groupe G. Une équation ne peut donc avoir qu'un seul groupe; on doit donc trouver le même groupe quelle que soit l'équation analogue à (3) dont on fait usage. Ces équations par suite sont de même degré.
193. St deux fonctions rationnelles des racines, © et 4 sont égales, elles ne cessent pas de l’être après avoir effectué une substitution du groupe G.
Car leur différence est rationnelle; elle doit donc toujours conserver sa valeur nulle après que l’on a effectué les substitutions du groupe.
194. Le groupe G est transitif ou intransitif, suivant que l’équation est irréductible ou non.
Si le groupe est intransitif il échange quelques racines entre elles sans les échanger avec les autres; il ne change donc pas une fonction symétrique quelconque de ces racines; une semblable fonction peut donc s’exprimer rationnellement, et ces racines seront les racines d’une équation à coefficients rationnels; l’équation proposée est donc réductible.
D'un autre côté, si l'équation est réductible, on doit avoir, pour des racines déterminées,
(am ri)(a re). .(a— 2 )—=K,
où & est indéterminé et K rationnel; ce produit ne conserve sa valeur que si l’on permute ensemble æ1, æ+, ..., æ), OU Si l’on permute d’autres racines entre elles. G ne peut donc contenir que des substitutions produisant ces permutations, il est donc intransitif.
Si l’on ne garde, parmi les substitutions de G, que les cycles quivcontiennent zy, Ze, ..., æ,, On obtient un groupeiG:. Une fonction de ces racines, qui reste inaltérée par les permutations de G,, mais qui est altérée par toutes les autres quipermutent #4, 2, estralionnelle, Carnellesnest pas altérée par les substitutions de G. G, est donc le groupe Gé PÉQUAUONOUIIADOUTACINES PI, ve be
