La résultante provenant de l’élimination de y entre

D ATOTR ES En 0 et Por )rr+ pr )at +. + pay),

OÙ 4j, @, ... sont rationnels et %5, o,, ... sont des fonctions rationnelles, a son groupe imprimitif, et réciproquement toute équation dont le groupe est imprimitif provient d’une semblable élimination.

Soient Yi, Vas --.» Ym 1eS racines de la première équation, soient T1, Lo2y ---, Con les racines de la seconde quand on y remplace y par y,; soit », une fonction symétrique arbitraire de ces 7 racines; la fonction

À — (a — ‘1) (a — V3). , (A—Vm);

où « est indéterminé, est alors une fonction symétrique de Vis Vas sm et peut s'exprimer rationnellement. Le groupe cherché ne peut contenir que des substitutions laissant A invariable, c’est-à-dire laissant #,, p2, ...,v invariables ou

les permutant entre eux. Ces substitutions échangent ainsi les n racines du système

Lois pos -.-, Xpn;

contre les nr racines du même ou d’un autre système; le groupe est donc imprimitif.

D'un autre côté, soit G le groupe imprimitif d’une équation contenant les m systèmes de lettres

pts lp Ton DOUT D =, 71 0 OILS

Voie (B — Zi) (B — rh). - .(B — Xon) et A—(a—p)(a—Vv3)...(aæ— rm),

où & et 5 sont indéterminés. A reste inaltéré par les substitutions qui remplacent des lettres d’un même système par des lettres d’un même système. À reste donc invariable par les substitutions du groupe et peut s'exprimer rationnellement. A l’aide de À on pourra trouver toutes les fonctions symétriques de p;, Ps, ..., M Sous forme rationnelle; #, ayant les valeurs p;, Po, ..., Pm, Sera ainsi déterminé par une équalion de degré m à coefficients rationnels; quand #, sera connu, æ, sera déterminé d’une manière analogue par une équation de degré x dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de +.

Réduction du groupe au moyen de quantités adjointes.

196. L'ordre de G est le degré de l’équation irréductible en y; si l’on adjoint de nouvelles quantités de manière à rendre cette équation décomposable, on obtient un nouveau eroupe d'ordre moindre; comme les substitutions du nouveau groupe sont déterminées par les racines de la nouvelle équation irréductible et que ces racines se trouvent parmi les quantités ÿ1, Yes :.., Ymy Le NOUVEAU groupe est contenu dans l’ancien.

197. Si l’on adjoint la valeur z, d’une certaine fonction rationnelle des racines, le groupe nouveau devient le groupe LT / 5 des substitutions de G qui n’altèrent pas 31.

3, ayant été adjoint doit être regardé comme rationnel; toute substitution du nouveau groupe doit laisser inaltérée la fonction 3, des racines; le nouveau groupe est contenu dans l’ancien : donc il ne peut contenir que des substitutions de l’ancien groupe qui n’altèrent pas 21.

Nous allons montrer que toutes les substitutions de G qui n’altèrent pas z, appartiennent au nouveau groupe; formons une fonction rationnelle quelconque des racines exprimable rationnellement au moyen de 3, et des quantités connues, en appelant U, cette fonction et © un symbole de fonction rationnelle

Ui = o(&1), d'où (193) U4 — B(Za),

l'indice a indiquant que l’on a effectué une substitution quelconque a qui se trouve parmi celles de G qui n’altérent pas z,; on à donc

Zn NZ et CUS

en sorte que la substitution «& laisse invariables toutes les fonctions qui peuvent s'exprimer rationnellement en z, et des quantités connues. a appartient donc, en réalité, au nouveau groupe après l’adjonction de 3.

198. St une fonction o des racines et une autre fonctiont restent inaltérées par les mêmes substitutions de G, © peut s'exprimer rationnellement en fonction de r.

En effet, si l’on adjoint tr, on obtient pour l’équation un groupe réduit H. Ses substitutions laissent + et © invariables, o peut donc s'exprimer rationnellement au moyen de x et des quantités connues.

Adjonction des racines d'une équation auxiliaire.

199. Soit 3, une racine d’une équation irréductible auxiliaire dont les racines sont z,, 3:, ..., 3,3 nous admettrons que l’adjonction de z, réduise le groupe G. Alors l’équation F(y)=ose décompose en d’autres irréductibles du même degré, chacune d'elles peut servir à déterminer le nouveau groupe ; Soit

l’une de ces équations ; on peut supposer que le coefficient de la plus haute puissance de y soit l’unité, les autres étant des fonctions entières rationnelles de z, de degré £ — 1 au plus.

Si l’on divise F(y) par ® (7,3) et si l’on égale à zéro les coefficients du reste on obtient les conditions pour que F(Yy) soit divisible par o(y, z); ces équations de condition sont satisfaites pour z — z, et comme l’équation en s est irréductible elles doivent être satisfaites pour z2=%, ..., 3 —2}, F(y) est donc divisible par p(y, 32), ...,o(Y» zx).

Le produit

(2) W(r) = p(r, 21) pr, 32)... o(Y,2x)

est une fonction entière de y et des quantités connues (les valeurs de 3 ne sont pas ici regardées comme connues); chaque facteur étant facteur de F(y), l'équation

ne saurait avoir d’autres racines que celles de F(y)=o, et doit les admettre au même degré de multiplicité; doncon a identiquement

(4) LOEAECT

Comme o(Yy, :,) — 0 est irréductible, les autres équations analogues le sont aussi, pourvu que pour chacune d'elles la valeur correspondante de 3 soit adjointe. Si, en effet, o(y, 3)

était divisible par w,(y,s), pour z — £, le reste de la division de o(y,z) par pi(y,3) devrait être nul pour z — z;, il devrait encore être nul pour 3 — 3, et ®(y,z,) —0o serait réductible, ce qui est en contradiction avec ce qui précède.

si (5) p(Y,31)=0 et p(y;22)—0

ont toutes deux la racine y,, et si la première a, en outre, la racine y», ÿ2 pourra s’exprimer rationnellement en y;, et l’on aura

(6) 72 = 001), 0 désignant une fonction rationnelle. L’équation (7) P[0(0), z11=0

a alors une racine commune avec la première équation (5) et par suite doit les admettre toutes ; la fonction

est alors divisible par o(y,z) pour 3 —3%, et donc de même pour 3 — 3,, de sorte que l’équation

doit être satisfaite quand ®(y, z:) = o l’est; parmiles racines de cette équation se trouve y,, en sorte que l’on à identiquement

(9) FOREST ERe Cr z3 = 0; d’où il résulte que y, est racine de la seconde équation (5) : deux des équations © — o ont donc ou les mêmes racines, ou toutes leurs racines différentes.

Soit y, une racine commune à g de ces équations, ces équations devront avoir les mêmes racines; qg autres équations

doivent avoir les mêmes racines, sans les avoir communes avec les équations du système précédent, et ainsi de suite.

En extrayant la racine g'ève de (4), on a alors, identiquement,

(10) F(r)= (y; 21)p(7; 32)... &(y, zr),

où ®(Y,31), ..., ®(y,z,) désignent des facteurs de chaque système; on à donc Æ — gr.

Les racines x se partagent ainsi en r systèmes de q racines, de telle sorte que l’on obtient deux groupes réduits différents, suivant que l’on adjoint deux racines appartenant à deux systèmes différents, tandis que l’on obtient le méme groupe réduit pour deux racines d’un méme système.

Dans le cas où le degré £ de l'équation auxiliaire est un nombre premier p, on a g —=1. F(y) est donc un produit de p facteurs et l’on obtient l’ordre du groupe réduit en divisant l’ordre de G par p.

Si l’on adjoint une fonction des racines d’une équation, on adjoint en définitive une racine de l’équation irréductible qui détermine cette fonction. Les valeurs de cette fonction forment alors des systèmes analogues à ceux que nous venons de considérer.