J2 DIÎLXIÈMIÎ PARTIE. — CHAPITIIE \ll

transformée en un produit de 2/'-' facteurs du second degré, qui se déduisent de l'un d'eux, en changeant les signes des radicaux de toutes les manières possibles. Deux de ces facteurs sont de la forme

et leur produit du quatrième degré dont le premier terme est ^* ne contient pas \/Ti. Si l'on traite ces facteurs du quatrième degré d'une façon analogue et si l'on continue ainsi de suite, on finit par trouver une équation du degré 1'' à coefficients rationnels admettant les racines a?,, .v.,, . . ., x^. Si elle est irréductible, elle doit se confondre avec l'équation donnée; mais il peut arriver que plusieurs valeurs de x soient égales, en sorte que l'équation obtenue soit réductible. Dans ce cas elle admettra un même nombre de fois toutes les racines de/(^):=o; sans quoi, en divisant par une puissance convenable de/(^), on pourrait obtenir une équation admettant une partie seulement des racines de f{x)^o; le degré de l'équation donnée doit donc être un diviseur de ip. Donc

Une équation irréductible qui peut être résolue au moyen d'extractions de racines carrées doit être d'un degré égal à une puissance de 1 et ses racines ne diffèrent les unes des autres que par les signes des radicaux.

92. Une racine d'une équation irréductible de degré i'' qui peut être résolue à l'aide de racines carrées peut s'exprimer au moyen de p radicaux.

Si dans l'équation

on remplace x par -, si l'on chasse les dénominateurs et si l'on cherche par les méthodes connues le plus grand commun diviseur des premiers membres des deux équations, on

ÉQUATIONS RÉSOLLBI.ES A l'aIDE DE RACINES CARRÉES. 1 53

obtient un reste du premier degré M >■ -^ X et le dernier diviseur peut être représenté par

Ax2+B.r — C.

M, N, A, B, C désignant des fonctions entières de A et des quantités connues. Soient Xj et x^ deux racines de l'équation (i) : si l'on l'ait k = x^x^^, Xi et x^ seront des racines communes aux deux équations et l'on aura

La forme la plus générale d'un facteur du second degré de f{x) en fonction du produit de deux racines est donc

9 désignant une fonction rationnelle.

Quand k sera connu, les deux racines seront ainsi données par une équation du second degré, c'est-à-dire que leur expression contiendra un radical de plus que celle de /..

k, étant un produit de deux racines, sera déterminé par une équation de degré

Comme k peut s'exprimer au moyen de racines carrées, l'équation en k devra pouvoir se décomposer en d'autres dont les degrés seront des puissances de 2. Ces équations ne peuvent être toutes de degré 2? ou de degré plus élevé, car une somme de pareilles puissances serait divisible par ip, ce qui n'a pas lieu avec le degré de l'équation déterminant k : le degré de l'une de ces équations doit donc être au plus égal à 2^-'.

L'équation de degré 2^ pourra donc se résoudre au moyen de p racines carrées si celle du degré 2^-' peut se résoudre au moyen de « — i racines carrées. Mais l'équation du second degré peut se résoudre au moyen d'une racine carrée; lethéo-

rème se trouve donc démontré. Cependant, il existe un cas qui demande à être examiné de plus près, à savoir celui dans lequel/(j;) el/[ - I ont un facteur commun de degré supérieur

à deux. Cela ne peut arriver que si l'on a, pour des valeurs de p et q différentes de i el 2,

on aura alors

et si l'on remplace œ par jc + /^

■Tp .r^ -\- h ( x,, -^ ./Vy ) ^ h^ =.ri ,r, -h // ( ,r i 4- .r, ) -+- h- ;

celte formule ne peut avoir lieu quel que soil h; sans quoi l'équation donnée aurait des racines égales, ce qui est impossible, puisqu'elle est irréductible.

Si donc la démonstration tombait en défaut, on pourrait toujours transformer l'équation de manière que le cas en question ne se présente pas. Comme la transformation n'altère pas le nombre des radicaux qui entrent dans les expressions des racines, le théorème est vrai dans tous les cas.