I,'équation

.f — 1 où p est un nombre premier, a pour racines

a, X'", a'", .... ol''^"' :

si l'on pose, comme plus haut,

on a

/> peut être de la forme \n -h i ou 4" + 3.

l48 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

1° yj z= 4« + !• — Les racines conjuguées se trouvent dans le même groupe; en sorte que ji/2 iie contient pas le terme i. Le nombre des termes de 71/2 est t\n} et chaque racine doit y entrer n fois; on a donc

j2+/-/' = 0 et

L'équation dont les racines sont les termes de y\ a ses coefficients de la forme « + />/,, a et ^ désignant des nombres entiers; si l'on forme la somme des produits de q racines pour calculer les coefficients de l'équation, on obtient une somme dont chaque terme est une racine; ces racines sont les unes égales à i, les autres sont des termes de 7i ou de y, ; mais, si un terme de /i se trouve dans le produit, ils doivent s'y trouver tous. La somme a donc la forme aj,+ ^y,+ cou {a — b)Yi + c — b, 011 a, ^^, c sont entiers

et où l'on a

'xn{a+ b) -\- c = (l^iïii),

ces deux nombres étant tous deux l'expression du nombre des termes qui entrent dans le coefficient calculé.

Si l'on échange a en a'", et, par suite, ji en/., on obtient l'équation dont les racines sont les termes de y^, les deux équations se distinguent seulement l'une de l'autre par le signe de \//3. Il n'y entre pas d'autres dénominateurs que 2; alors on peut écrire ces équations ainsi

où Y et Z ont des coefficients entiers, et on a identiquement 4X = Ï2 — yjZ2.

Y est de degré ^^^^ , Z de degré ^-^^^; comme les deux équations que nous venons de former sont réciproques, on voit

ÉQUATIONS ABÉLIENNES. l^Q

que dans Y et Z les coefficients formeront des suites symétriques, comme dans les équations réciproques.

2" /?i=4« -t- 3. — Les racines qui entrent dans /i senties inverses de celles qui entrent dans j,; parmi les(2rt-i-i)" termes de /, j2 se trouve l'unité 2«4-i fois; chaque autre racine entre n fois; on a alors

et, en procédant comme plus haut, on a

les deux équations ne diffèrent, comme dans le cas précédent, que par le signe de \/— p, mais elles ne sont plus réciproques; l'une se déduit de l'autre en changeant .37 en - et en chassant les dénominateurs; les coefficients de Z ont les mêmes propriétés que plus haut, et les coefficients de Y sont égaux et de signes contraires deux à deux.

Notre développement n'est pas applicahle au cas où p =^0; dans ce cas

Y = 2x-t- i: Z = I, ou

Y = j: -H -2 ; Z = jr,

Les théorèmes que nous venons de démontrer sur les polynômes X trouvent leur application dans la théorie des nomhres (Diricolet, Journal de Crelle, t. 17).

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A L'AIDE DE RACLNES CARRÉES.

Forme des racines.

91. Soit ^1 une racine d'une équation irréductible donnée que nous supposerons résoluble au moyen d'expressions rationnelles et de racines carrées; lorsque nous dirons qu'une expression contient n racines carrées , il faudra sous-entendre que ces racines sont distinctes; nous dirons qu'une expression qui ne contient que des racines carrées d'expressions rationnelles est une expression du premier ordre; une expression qui contiendra des racines carrées d'expressions du premier ordre seulement sera du second ordre et ainsi de suite.

Si les radicaux qui entrent dans jr, sont liés entre eux par une équation du premier degré à coefficients rationnels, on en profitera pour réduire le nombre des radicaux contenus dans .a?,. Lorsque a^i sera ainsi ramené à contenir le plus petit nombre possible de radicaux, on fera évanouir les radicaux qui entreront en dénominateurs; on n'introduira pas, par cette opération, de nouveaux radicaux, cette opération se faisant par de simples multiplications qui peuvent se faire de façon qu'on n'introduise pas de nouveaux radicaux. Alors les radicaux n'entrent dans j?, qu'avec l'exposant i ; car une puissance paire d'un radical est une expression radicale d'un ordre moins élevé; il en résulte aussi que toute fonction rationnelle d'un radical entrant dans x^ peut s'exprimer en fonction rationnelle du premier degré par rapport à ce radical.

Si l'on change les signes des radicaux qui entrent dans

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A l'aIDE DE KACINES CAIîRÉES. l5l

l'expression de x^ de toutes les manières possibles, ^i prendra de nouvelles valeurs ^"2, ^o, . . . , j:'^,. et, si ^1 contient p radicaux, Xy prendra 2^ valeurs; mais ces 21' valeurs ne sont pas toujours distinctes; c'est ainsi que

ne change pas quand on change le signe de \/l> . Si J7i est racine crime équation irréductible

,ro, .r-i, . . . , ^jj, sont racines de la même équation.

En effet, remplaçons ^par ^1 dans/(wr) : comme il n'existe pas de relations entre les radicaux qui entrent dans ^1, les coefficients des radicaux qui entreront dans l'équation ainsi obtenue devront être nuls. Les équations qui en résultent et qui expriment que .Vy est racine, à leur tour contiendront des radicaux dont les coefficients devront être nuls et ainsi de suite; on arrive de la sorte à des équations qui ne contiennent plus que des quantités rationnelles, (pii ne dépendront pas des signes des radicaux qui entraient dans ^1 et qui seront satisfaits, quels que soient ces signes. Si donc l'équation (i) admet pour racine ^1, elle admettra aussi pour racines œo, ^3, . . . , ^p..

Maintenant on peut poser

où ^c est un radical qui n'entre pas sous un autre signe radical; \/c n'entre pas alors dans l'expression de A ou de B, qui peuvent contenir d'autres radicaux; posons alors

le produit

ne contiendra pas \/c si l'on forme des produits analogues pour toutes les autres racines en changeant les signes des radicaux se trouvant en A et B ; on obtient l'expression

ix—Xi){x — X2), ...,{X — X^)