ÉQUATIONS RÉSOLUBLKS A LAIDE DE RACINES CARRÉES

ficient de la plus haute puissance de x soit l'unité, sans que \'y. entre en dénominateur. Si l'équation donnée est

/(.r) =. o, il faut donc que l'on ait

/(.r ) = (.;■'" 4- fli ^'«-1 -f- . . . ^ a,„ f-

— 7.{bixm-i-\- h^x"i-^-^. . .+ Oin)-.

\j y. est le dernier radical que l'on fait disparaître dans :r,, c'est-à-dire le premier qu'il faut calculer quand on veut évaluer a:,; si l'on a le choix entre plusieurs radicaux à calculer tout d'abord, f{x) peut être ramenée de plusieurs manières à la forme que nous venons de considérer. Par exemple, si

.n = y/â -I- \/7i -H \ s/ il ^ \JJ) ^ /c,

on pourra ramener /(.r) aux deux formes

X'^ — aW ou k^—bW, où A est du quatrième degré et B du troisième.

Résolution de l'équation.

9i. Pour abaisser l'équation donnée, on peut former l'équation qui a pour racines les valeurs de

(j:i+ .7-2 -h. . .-4-.r,„)(jr,„+i-t-x,„+2-j-. . .H-./-./»)-

Le degré g de cette équation est égal à la moitié du nombre de manières dont on peut prendre 2/'-* lettres sur ip ou

On peut montrer que ce nombre est impair; si l'on divise para tous les facteurs pairs de ip\ on obtient tous les facteurs de 2/'-'l, Si donc u, //,, «^ désignent des nombres impairs, on aura

2/jl 22P-'.2/'-l \u.

l56 DFXXIÈMK PARTIE, — CHAPITRE VII.

Si l'on remplace successivement /> par/» — i, /? — 2, . et si l'on multiplie les équations ainsi obtenues, il vient

•2.PI = ■2-''-hiiiiiu. . . ; le dénominateur de ,s- étant 2-''-' «7 i/î .... ainsi

ce qui est un nombre impair.

L'équation déduite de la proposée et que nous venons de considérer est résoluble par radicaux, si la proposée l'est, et elle doit se décomposer en équalions dont les degrés sont des puissances de 2; or son degré est impair: donc l'une des équalions dans lesquelles elle se décompose doit être du premier degré, de sorte que, parmi les valeurs que peut acquérir le produit que nous avons considéré. Tune est rationnelle; on peut la trouver dès que Ton a formé l'équation auxiliaire, car elle entre en facteur dans le dernier terme du premier membre de l'équation auxiliaire; comme on connaît en outre la somme des facteurs de ce produit, ceux-ci pourront se déterminer au moyen d'une équation du second degré à coefficients rationnels. On connaît donc la somme de m racines en fonction d'un radical carré et les autres fonctions symétriques de ces m racines peuvent s'exprimer rationnellement à l'aide de la somme trouvée et des quantités connues; l'équation qui détermine ces /« racines a donc la forme

.t:'" ^- (//] -T- l>i /a )./•'"-' -^ («2 -f- h-, y/a)./;"'-2 -^ . . . -i- et,,, -+- b„t sj % = o,

où «1, b^, a.,, . . ., a„i, b„i et a sont rationnels. Si l'on change + v/a en — \a, on obtient l'équation qui donne les m autres racines.

Si l'on traite de même l'équation réduite, en regardant y/a comme une quantité connue, on obtient une équation de degré 2p-^ dont les coefficients sont fonctions de ^ot. et d'un nouveau radical carré. Ici se présente une difficulté : la racine que l'on cherche et qui doit être considérée comme ration-

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A LAIDE DE RACINES CARRÉES. I Sj

nelle est en réalité de la forme b + c v^a et doit être facteur d'une expression de la même forme, à savoir le dernier terme de l'équation; mais on peut tourner la difficulté en changeant X en r + ^y/a et en décomposant l'équation en deux autres ayant pour racines b et c.

Condition pour qu'il soit possible de résoudre l'équation.

95. En suivant la marche que nous venons d'indiquer, il est toujours possible de résoudre une équation résoluble à l'aide de radicaux carrés. Mais en pratique il devient déjà très pénible de résoudre l'équation du huitième degré. On peut souvent simplifier les calculs en faisant usage du théorème suivant :

S'il est possible de réduire de moitié le degré de l'équation f{x)^=iO, en extrayant la racine carrée de f{x), on doit trouver un reste qui, multiplié par une puissance de 2, est divisible par a, \/x désignant la racine carrée à laquelle on est conduit en effectuant la réduction.

Supposons que l'équation soit

(1) .r-'"-+- A,. /•-'"-' — .. .-^ Â,„ = o et puisse être ramenée à la forme

(2) (jr'«-4-ai.r'«-i-i-...-;-r?„,)2— a(^i.r'"-i-^ ù.2X"i--^...-^b,„)' = o; supposons que l'extraction de la racine carrée donne pour(i)

(3) (,r'«-t- /LiX'«-'-h A■2.r"'----^-. . .-H A•m/-^- R/«-i = o,

R„,i étant, au plus, de degré m — i; alors on a identiquement

1 [2.r'»-f- (cii^ ki)j:'"-^-h (ai-h k,)^'"-^-^. . .^ a,n-^ fim]

(4) x[(ai — Ai).r'"-i+ («,-- A-.,),r'«-2^. . .+ a,„ - A„,J

et, en égalant les coefficients de x-"'-\ x-'"--, ..., x'" où

l58 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VII.

le reste est sans influence,

•2(rti — A-i) = o,

2(a2— /^-î) + (^'1 -+- ^ù) («1 — /ù) = aèf ,

(5) { 2(a,,- A>)-H(rti-HA-i)(r</,-i-A-/-i)+..-= «A,

■iiCn — l^m ) -t- ( «1 -1- ^1 ) ( «'«-1 — l^m- 1 ) + • • •

-I- ( a,n-\ -\- km- 1 ) («1 — In ) = 7. B,

aA et aB désignant des quantités divisibles par a.

La première de ces équations montre que «i = Ai; la seconde que a^— A^, abstraction faite du facteur 2, est divisible par a; la troisième que a^— k^ est divisible par a, et ainsi de suite; la dernière montre que- a,,, — k,^ est encore divisible par a; <x est donc facteur du premier membre de l'identité (4) et par suite de R,„-i.

Si la racine contient plusieurs radicaux du premier ordre, chacun de ceux-ci peut être soumis à la même discussion que v/a, et tous les facteurs des quantités rationnelles a doivent se trouver dans les termes de ll„,i.

Considérons, par exemple, l'équation à laquelle on ramène .2-1'' — 1 = 0, à savoir

/■( .1 ) = ,rS ) j;i — n x^> — G .r^ -t- 1 5 .r^ + i o .r^ — i o ,r- — ^x -\- i = o ;

l'extraction de la racine carrée donne

l'équation peut en réalité s'écrire

Application à un problème de Géométrie.

9G. Les équations que l'on peut résoudre par de simples extractions de racines carrées ont une importance toute particulière en Géométrie , car tout problème de Géométrie

ÉQUATIONS IIÉSOLLBLES A l'aIDE D1: RACINES CAIUIÉES. iSg

résoluble au moyen de la règle et du compas doit conduire à une semblable équation. Toute construction de ce genre se ramène à ces problèmes élémentaires : faire passer une droite par deux points; décrire, d'un point donné comme centre, une circonférence de rayon donné; en répétant ces constructions, la Géométrie analytique permet de calculer les éléments inconnus en fonction de ceux qui sont donnés ; comme ces calculs ne conduisent jamais à des équations d'un degré plus élevé que le second, il faut que les éléments inconnus puissent se déduire des données par de simples extractions de racines carrées.

Il résulte de là qu'il est impossible de partager un angle en trois parties égales au moyen de la règle et du compas. On peut, en effet, se proposer de construire le cosinus de cet angle et, comme ce cosinus est racine d'une équation irréductible du troisième degré, il ne peut pas s'exprimer au moyen de racines carrées.

La plupart des constructions reviennent à la détermination d'un point qui lui-même se trouve déterminé par l'intersection de deux lieux géométriques- Si l'un d'eux est une droite dans une position quelconque et si l'autre est une courbe indépendante, on peut déterminer l'ordre de cette courbe si la construction du point peut se faire à l'aide de la règle et du compas. D'une manière moins générale, on peut avoir à déterminer la courbe lorsque la droite renferme un paramètre variable, par exemple quand elle doit passer par un point fixe.

97. Supposons que l'on se donne un faisceau de droites dont le sommet soit à l'origine des coordonnées et proposons-nous de trouver les courbes dont les intersections avec une droite quelconque du faisceau peuvent être déterminées à l'aide de la règle et du compas.

Nous supposerons que la courbe ne passe pas par l'origine; prenons des coordonnées polaires et posons

(i) x = mr: y = iir\

i6o Di:u\ii:ME pautik. — ciiapitue mi.

l'équation de la courbe prend la forme

( 2 ) « 4- hr + cr- -H . . . = O,

où a n'est pas nul et où a, h, c, ... sont des fonctions homogènes des degrés o, i, 2, ... de m et de n.

Si le problème peut être résolu avec la règle et le compas, cette équation doit pouvoir se résoudre pour toute valeur de m et de n ; il existe sans doute entre m et n une relation en sorte que leur rapport seul est arbitraire; mais on peut remplacer m et n par mk et ni:, si l'on change en même temps /■ en T' ot l'on peut, par cete raison, regarder m et n comme indépendants.

D'après nos hypothèses les constantes qui entrent dans l'équation de la courbe sont indépendantes de m et de ji. U est facile de voir que l'équation (2) est irréductible si la courbe est indécomposable.

Si l'équation (2) est susceptible de se résoudre au moyen de racines carrées, elle devra pouvoir se ramener à la forme

(3) />(A4-B/-4-C/-2, ...j2 = /,•,(A, + Bl^-hCl/•^...)^

où k et Aj sont des fonctions entières homogènes de m et n ; (3) n'est pas nécessairement identique à (2), car on peut avoir supprimé un facteur par la division. En comparant les équations, on voit que ce facteur est

-^ ou 0 = k A2 — /l 1 A 2 ;

car a est indépendant de m et n et on peut le supprimer sans changer la forme de nos équations. On peut supposer que k et A-, n'ont pas de facteur commun, car on pourrait le faire disparaître par la division; on peut supposer en outre que 9 n'a pas de facteur commun avec A et Ai ; car un facteur appartenant à 9 et à A'i appartiendrait à A, B, C, ... et pourrait être supprimé par division sans changer la forme de l'équalion. On peut mettre (3) sous la forme

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A LAIDE DE RACINES CARRÉES. l6l

Si l'on multiplie le premier fadeur par Ay/A — Aiv/Aj, le second par Av^/i + Ai\/A-i, on obtient la forme

[ cp + ( M + N s/Wi) r + ( ,M 1 -t- N , v/ÂÂ^ ) /■ 2 -H . . . ] X [cp + (M — N/Â7^)r + (M,-Niv//Û^)/'2 + ...] = o

et le premier membre doit être divisible par 9-.

Nous allons montrer que chacun des facteurs est divisible par 9. Si l'on forme le produit des deux facteurs, chaque coefficient sera divisible par 9-; or, en développant, on a

cp2 + 2 cp M /• + . . .

et l'on voit que 9 doit être en facteur dans M. Si m — oui est en facteur dans 9, m = a/i doit annuler un des deux facteurs, par exemple le premier; m^=.aii doit alors annuler M + N\/AAi et, comme A^i n'a pas de facteur commun avec 9, il doit annuler N. Maintenant, considérons dans le produit le coefficient de /■- : en dehors des termes divisibles par cp^^ il n'entre que le terme 2M19 ^^ nous voyons que Mj doit être divisible par 9; nous en concluons, comme plus haut, que Nj est divisible par 9; en continuant ainsi, on voit que tous les M et les N sont divisibles par 9. Si l'on divise les deux facteurs par 9, on obtient l'équation (3) dégagée du facteur 9 et sans que sa forme soit modifiée; on peut donc supposer (2) et (3) identiques; alors on a kk}— k^k\r^a, a étant indépendant de m et «; a n'est pas nul et k et Aj ne peuvent être tous deux constants (sans quoi l'équation serait réductible); les coefficients doivent être des fonctions homogènes de m et de II, parce que l'équation reste inaltérée par la substitution qui remplace vi, n, r par mh, nh, j et ne peut prendre la forme (3) que d'un nombre fini de manières; si donc Aj contient m et n, Aj doit être nul et A- et A constants.

Si l'on pose Ai=o dans (3), on détermine les valeurs de

m et n pour lesquelles les points d'intersection d'une droite

et de la courbe sont confondus deux à deux. La courbe doit

donc être une courbe d'ordre ip telle que du sommet du

l62 DEUXIÎÎME PARTI!!. — CHAPITRE VII.

faisceau, on puisse lui mener des sécantes dont les intersections coïncident deux à deux et, comme Ai=:o, Ai doit être au moins du second degré en m et n\ le sommet du faisceau doit donc être le point d'intersection de deux droites jouissant de cette propriété et, s'il est arbitraire, le problème ne sera possible que si une droite coupe la courbe en deux points seulement. Donc :

En dehors des coniques, il n'existe pas de courbe dont les intersections avec une droite arbitraire puissent se déterminer à l'aide de la règle et du compas.

Et le principe de dualité montre que, en dehors des coniques, il n'existe pas de courbe dont les tangentes menées par un point arbitraire puissent être construites avec la règle et le compas.

Intersections d'un faisceau avec une courbe du quatrième ordre.

98. Nous allons considérer, en particulier, les courbes du quatrième ordre; leur équation doit être de la forme

( 1 ) ( A -)- B r + C r^ Y- = kv"- n.) r + E )2 .

Si E n'est pas nul, k est du deuxième degré; si E est nul, k doit être du quatrième degré. Dans le premier cas, on parvient à une équation de la forme

(2) S-^=Xa3y2,

OÙ S = o représente une conique quelconque, oii X désigne une constante, y = o une ligne droite, oc:=o, (3 = o deux droites du faisceau.

Dans le second cas, on a

S2=XapYo;

a:=o, [3 = G, y = G, ô = o sont alors des droites arbitraires du faisceau.

La première équation appartient à une courbe du quatrième ordre avec deux points doubles déterminés par S = o et

ÉQUATIONS RÉSOLUBLES A l'aIDE DE RACINES CARRÉES. l63

y = G et avec les tangentes doubles a = o, j3 =: o qui se coupent au point donné et dont les points de contact se trouvent avec les points doubles sur la conique S = o.

La deuxième équation est celle d'une courbe du quatrième ordre avec quatre tangentes doubles qui se coupent au point donné et dont les buit points de contact sont sur la conique S = o.

Nous n'examinerons pas le cas où le point donné se trouve sur la courbe et y est un point multiple d'ordre g, l'ordre de la courbe chercbée s'élevant de g unités. Nous montrerons seulement comment on peut construire les intersections des courbes de la première classe avec les droites du faisceau au moyen de deux coniques.

L'équation (i) peut s'écrire

sfket

pi en

Pl

etp^

seront déler-

Si l'on change \/'k en minés par l'équation

(B^— /tE2)p2-t- 4ABp -t-4A-^= o,

qui est celle d'une conique; celte conique, pour E = o, se transforme en une droite double

Bp-4-'2A = o

qui est la polaire de l'origine par rapport à la conique S = o.

Si E n'est pas nul, pi et Pa sont confondus pour A ==: o et les tangentes doubles sont tangentes à la conique auxiliaire.

Comme les deux intersections fournies par la conique ne suffisent pas pour déterminer les quatre points d'intersection cherchés, nous ferons usage d'une seconde conique; on peut, par exemple, prendre celle dont les points d'intersection avec les droites du faisceau sont en division harmonique avec /', et

l64 DEUXIÈME PARTIE. — CHAP. VU. — ÉQUATIONS RÉSOLUBLES, ETC.

/•2, et également avec 7-3 et t\\ ces points sont déterminés par les équations

2(^:1X2-+- ri /■,) = (.i'i + .r.2) (/'i 4- r.), 2 ( .ri .r. H- /'s /■4 )=(,/■! + ,ro ) ( /'s -h r^ ).

On en déduit l'équation de la conique cherchée

(BD — CE),r2 4-2AU,r + AE = 0.

Pour E = 0, cette conique se décompose en deux droites, dont l'une passe par le point donné et dont l'autre est la droite trouvée plus haut. Dans ce cas, on ne peut pas opérer la réduction, tandis que, quand E est différent de zéro, on détermine facilement les quatre points d'intersection quand on a trouvé les intersections avec les coniques auxiliaires.

Inversement, on peut se donner deux coniques et se proposer de construire une courbe du quatrième ordre de l'espèce qu'on vient de considérer. Pour plus de détails, on peut consulter un Mémoire de l'auteur dans le Tidsskrift de Zeuthen pour 1874.