X.j X3 Xi

•ri X.2 x^J

et, comme l'ordre dans lequel s'etrecluent les remplacements est indilFérent, on peut sans inconvénient remplacer le symbole précédent par un autre obtenu en intervertissant l'ordre des lettres pourvu que les lettres placées dans une même colonne verticale restent dans une même colonne.

La forme la plus générale d'une substitution de n lettres est alors

OÙ Al et Ao représentent des permutations différentes de n lettres. Ai est le numérateur, Aq le dénominateur de la substitution. La lettre qui en remplace une autre sera dite la remplaçante de cette autre.

Si on laisse A,, inaltéré, on pourra remplacer Ai par n\ permutations, on a donc en tout n\ substitutions de n lettres; l'une d'elles

'Ao\ Ao/

qui laisse toutes les lettres en place se représente parle nombre i.

Lorsque dans une substitution, au-dessus l'une de l'autre, figurent deux lettres identiques, on peut en faire abstraction et la substitution n'est en réalité qu'une substitution entre un moins grand nombre de lettres que îi.

Le symbole

SAo

exprime que la substitution S s'effectue sur l'arrangement Ao, ainsi

Le produit de deux substitutions

TS

représente la substitution qui résulte de la substitution S effectuée d'abord et de la substitution T effectuée ensuite; par exemple, on a

et l'ordre des facteurs ici n'est pas indifférent. Si l'on effectue p fois de suite la substitution S, on a une substitution finale que l'on représente par S^; alors

S" et I signifiant qu'on laisse toutes les lettres en place. Si

l'on a

on a évidemment

SS, = TS,, S,S = SiT;

en sorte que l'on peut multiplier à gauche ou à droite les deux membres d'une égalité par une même substitution.

Exemple :

XxX\ — X\X!,,

par la substitution

devient

x,^x\ -]- xlxz,

soit

j^ /X3 Xi Xi\^ \Xi X.2 xj '

on aura