Une substitution est semblable ci ses transformées

Soit

{ahc.)

un des cycles de S et «,, ^i, c,, ... les lettres par lesquelles A remplace a, b, c, ... ; quand on opère la substitution A-', a, se trouve remplacé par a, qui se trouve remplacé par b par la substitution S, qui se trouve lui-même remplacé par by parla substitution A. La substitution ASA"^ remplace donc «1 par bi, bi par Ci, . . . , de sorle qu'au cycle {abc. . .) correspond, dans la transformée, le cycle («lôiCi. . .); donc :

La transformée de S par A peut s'obtenir en effectuant sur les lettres des cycles de S la substitution A.

Exemple :

S = {abcd), k = {ac){b(l), ASA- ^ = (cdab).

Si

on a où

S =^ (abc) (de), T = {dca){lw),

T = ASA-i,

A = {adbc).

Ainsi quand S ei T sotit semblables, on peut toujours trouver une substitution A qui transforme S en T. Cette substitution est celle qui remplace chaque lettre de S par celle qui occupe la môme place dans ï.

151. Les deux produits de deux substitutions sont semblables. ST et ÏS sont semblables, car

ST = S(TS)S-i.

152. La transformée d'un produit est égale au produit des transformées de ses facteurs. Ainsi

A(ST)A-i = ASA-iATA-i.

153. Si deux substitutions sont échangeables, leurs transformées le sont.

En effet, si